Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
x d x+\left(x^{2} y+4 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dx+\left(x^{2}y+4y\right)\,dy=0
e pede que resolvamos essa equação, ou seja, que encontremos as curvas y(x) ou uma relação implícita entre x e y que satisfaça essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
M(x,y)=x,\qquad N(x,y)=x^{2}y+4y=y(x^{2}+4).
Não há mais condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Vamos verificar propriedades úteis da equação. Um procedimento comum é checar se a forma é exata: calcular \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
\frac{\partial M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(x^{2}+4)\bigr)=2xy.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x em geral, a equação não é exata. Outra opção é tratar x como função de y e escrever a equação em termos de dx/dy. Para isso dividimos ambos os lados por dy (assumindo dy\neq0 ao longo de um trecho da solução) e obtemos:
x\frac{dx}{dy}+y(x^{2}+4)=0.
Agora isolamos \dfrac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy}=-\frac{y(x^{2}+4)}{x}.
A expressão -\dfrac{y(x^{2}+4)}{x} sugere trabalhar com x^{2} como nova variável, porque aparece x^{2} e também um fator x no denominador que pode simplificar.

Passo 3

Definimos a nova função
v(y)=x(y)^{2}.
Vamos relacionar dv/dy com dx/dy. Pela regra da cadeia:
\frac{dv}{dy}=2x\frac{dx}{dy}.
Usando a expressão para \dfrac{dx}{dy} do passo anterior,
\frac{dv}{dy}=2x\left(-\frac{y(x^{2}+4)}{x}\right)=-2y(x^{2}+4).
Como v=x^{2}, temos x^{2}+4=v+4. Portanto a equação em v(y) fica
\frac{dv}{dy}=-2y(v+4).
Reorganizando:
\frac{dv}{dy}+2y\,v=-8y.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para v(y) no formato padrão
\frac{dv}{dy}+P(y)\,v=Q(y),
com P(y)=2y e Q(y)=-8y.

Passo 4

Lembra do método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem: se temos \dfrac{dv}{dy}+P(y)v=Q(y), o fator integrante é
\mu(y)=\exp\Bigl(\int P(y)\,dy\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(y) conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada do produto \dfrac{d}{dy}\bigl(\mu v\bigr). Aqui P(y)=2y, então
\mu(y)=\exp\Bigl(\int 2y\,dy\Bigr)=\exp(y^{2})=e^{y^{2}}.
Multiplicando a equação por \mu:
e^{y^{2}}\frac{dv}{dy}+2y e^{y^{2}} v = -8y e^{y^{2}}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada:
\frac{d}{dy}\bigl(v e^{y^{2}}\bigr) = -8y e^{y^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y:
v e^{y^{2}}=\int -8y e^{y^{2}}\,dy + C,
onde C é a constante de integração. Para calcular a integral usamos a substituição t=y^{2}, dt=2y\,dy, logo y\,dy=dt/2. Então
\int -8y e^{y^{2}}\,dy = -8\int y e^{y^{2}}\,dy = -8\int \frac{1}{2} e^{t}\,dt = -4 e^{t} + \text{const} = -4 e^{y^{2}} + \text{const}.
Inserindo na expressão anterior e absorvendo constantes, obtemos
v e^{y^{2}} = -4e^{y^{2}} + C,
ou seja
e^{y^{2}}(v+4)=C.

Passo 6

Voltando à variável original x usando v=x^{2}, ficamos com a solução implícita
e^{y^{2}}\bigl(x^{2}+4\bigr)=C,
onde C é a constante arbitrária (real). Podemos também escrever equivalentemente
x^{2}+4 = C e^{-y^{2}}.
Isso é a solução geral da equação diferencial dada. Observação prática: esta forma cobre as soluções não constantes; não encontramos soluções adicionais especiais (por exemplo x\equiv0 não é solução global, salvo em pontos isolados), então a família acima representa a solução geral.

Resposta

e^{y^{2}}\bigl(x^{2}+4\bigr)=C

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