Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
x d x+\left(x^{2} y+4 y\right) d y=0
x d x+\left(x^{2} y+4 y\right) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que resolvamos essa equação, ou seja, que encontremos as curvas
ou uma relação implícita entre
e
que satisfaça essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há mais condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Vamos verificar propriedades úteis da equação. Um procedimento comum é checar se a forma é exata: calcular
e
.
Como
em geral, a equação não é exata. Outra opção é tratar
como função de
e escrever a equação em termos de
. Para isso dividimos ambos os lados por
(assumindo
ao longo de um trecho da solução) e obtemos:
Agora isolamos
:
A expressão
sugere trabalhar com
como nova variável, porque aparece
e também um fator
no denominador que pode simplificar.
Passo 3
Definimos a nova função
Vamos relacionar
com
. Pela regra da cadeia:
Usando a expressão para
do passo anterior,
Como
, temos
. Portanto a equação em
fica
Reorganizando:
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
no formato padrão
com
e
.
Passo 4
Lembra do método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem: se temos
, o fator integrante é
Multiplicando a equação por
conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada do produto
. Aqui
, então
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para calcular a integral usamos a substituição
,
, logo
. Então
Inserindo na expressão anterior e absorvendo constantes, obtemos
ou seja
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, ficamos com a solução implícita
onde
é a constante arbitrária (real). Podemos também escrever equivalentemente
Isso é a solução geral da equação diferencial dada. Observação prática: esta forma cobre as soluções não constantes; não encontramos soluções adicionais especiais (por exemplo
não é solução global, salvo em pontos isolados), então a família acima representa a solução geral.