Verifique se cada função é solução da respectiva equação diferencial indicada.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
- Equação diferencial dada:
- Função candidata:
onde é uma constante arbitrária.
O que pedir: verificar se a função candidata satisfaz a equação diferencial (isto é, substituir a função na equação e checar se a igualdade é verdadeira). Observação: a função tem termos em
, então é natural considerar
como domínio onde tudo faz sentido.
Passo 2
Primeiro passo do procedimento de verificação: calcular a derivada
da função candidata. Vou usar a regra do poder para derivadas: se
então
. Aplicando termo a termo:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Portanto,
Passo 3
Agora calculo cada termo da equação diferencial usando a derivada encontrada.
Calcular
:
Calcular
:
Passo 4
Somar os dois termos obtidos e simplificar:
Os termos com
cancelam:
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação diferencial dada,
.
Passo 5
Interpretação final do cálculo: a identidade foi verificada algebraicamente sem fazer nenhuma suposição sobre o valor de
. Logo a função candidata satisfaz a equação diferencial para todo
. É preciso lembrar que as expressões usadas exigem
(para evitar divisão por zero e porque a equação tem coeficiente
em frente de
). Portanto a verificação é válida em qualquer intervalo onde
.
Passo 6
(Complemento didático — como chegar nessa solução na prova) A equação é linear de primeira ordem. Pode-se escrevê-la como
A técnica do fator integrante usa
. Multiplicando a equação por
obtém-se
Integrando:
, daí
, que é exatamente a função dada. Isso mostra também que a função apresentada é a solução geral da EDO no domínio
.
Resposta
Sim. A função
satisfaz a equação
para todo
e para
.