Verifique se cada função é solução da respectiva equação diferencial indicada.
t \cdot \frac{d y}{d t}+2 y=t^{2} ; y(t)=\frac{t^{2}}{4}+\frac{C}{t^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Equação diferencial dada: t\cdot\frac{dy}{dt}+2y=t^{2}.
  • Função candidata: y(t)=\frac{t^{2}}{4}+\frac{C}{t^{2}}, onde C é uma constante arbitrária.
O que pedir: verificar se a função candidata satisfaz a equação diferencial (isto é, substituir a função na equação e checar se a igualdade é verdadeira). Observação: a função tem termos em t^{-2}, então é natural considerar t\neq0 como domínio onde tudo faz sentido.

Passo 2

Primeiro passo do procedimento de verificação: calcular a derivada \dfrac{dy}{dt} da função candidata. Vou usar a regra do poder para derivadas: se y(t)=t^{n} então \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Aplicando termo a termo:
  • Derivada de \dfrac{t^{2}}{4}: \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t^{2}}{4}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot 2t=\dfrac{t}{2}.
  • Derivada de \dfrac{C}{t^{2}}=C t^{-2}: \dfrac{d}{dt}\!\left(C t^{-2}\right)=C\cdot(-2)t^{-3}=-2C t^{-3}.
Portanto,
\frac{dy}{dt}=\frac{t}{2}-2C t^{-3}.

Passo 3

Agora calculo cada termo da equação diferencial usando a derivada encontrada.
Calcular t\cdot\frac{dy}{dt}:
t\cdot\frac{dy}{dt}=t\left(\frac{t}{2}-2C t^{-3}\right)=\frac{t^{2}}{2}-2C t^{-2}.
Calcular 2y:
2y=2\left(\frac{t^{2}}{4}+\frac{C}{t^{2}}\right)=\frac{t^{2}}{2}+2C t^{-2}.

Passo 4

Somar os dois termos obtidos e simplificar:
t\cdot\frac{dy}{dt}+2y=\left(\frac{t^{2}}{2}-2C t^{-2}\right)+\left(\frac{t^{2}}{2}+2C t^{-2}\right).
Os termos com C cancelam:
t\cdot\frac{dy}{dt}+2y=\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{2}}{2}=t^{2}.
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação diferencial dada, \,t^{2}.

Passo 5

Interpretação final do cálculo: a identidade foi verificada algebraicamente sem fazer nenhuma suposição sobre o valor de C. Logo a função candidata satisfaz a equação diferencial para todo C. É preciso lembrar que as expressões usadas exigem t\neq0 (para evitar divisão por zero e porque a equação tem coeficiente t em frente de \dfrac{dy}{dt}). Portanto a verificação é válida em qualquer intervalo onde t\neq0.

Passo 6

(Complemento didático — como chegar nessa solução na prova) A equação é linear de primeira ordem. Pode-se escrevê-la como
\frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}y=t.
A técnica do fator integrante usa \mu(t)=\exp\!\left(\int\frac{2}{t}\,dt\right)=\exp(\ln t^{2})=t^{2}. Multiplicando a equação por t^{2} obtém-se
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=t^{3}.
Integrando: t^{2}y=\dfrac{t^{4}}{4}+C, daí y=\dfrac{t^{2}}{4}+C t^{-2}, que é exatamente a função dada. Isso mostra também que a função apresentada é a solução geral da EDO no domínio t\neq0.

Resposta

Sim. A função \;y(t)=\dfrac{t^{2}}{4}+\dfrac{C}{t^{2}}\; satisfaz a equação \;t\,\dfrac{dy}{dt}+2y=t^{2}\; para todo C e para t\neq0.

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