Resolva cada equação diferencial ordinária linear de segunda ordem.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \cdot \frac{d y}{d x}+2 x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\cdot\frac{dy}{dx} + 2x = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação para todo x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é de segunda ordem (aparece \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}).
  • Há um termo dependente de x (o termo 2x), portanto a equação é não-homogênea.
  • Podemos reescrever a equação isolando os termos com y:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} = -2x.

Passo 2

Resolvendo primeiro a equação homogênea associada (isso dá a parte complementar da solução). A homogênea é
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} = 0.
Explicação do método usado (tentativa exponencial): procura-se uma solução da forma \,y=e^{rx}\,. Derivando temos \,y'=r e^{rx}\, e \,y''=r^{2}e^{rx}\,. Substituindo:
r^{2}e^{rx} + 2 r e^{rx} = 0 \quad\Rightarrow\quad e^{rx}(r^{2}+2r)=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^{2}+2r=0.
Resolvendo a quadrática:
r(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=-2.
Isso dá duas soluções lineares independentes \,e^{0x}=1\, e \,e^{-2x}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (constantes de integração).

Passo 3

Agora achamos uma solução particular y_{p}(x) da equação não-homogênea
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} = -2x.
Método escolhido: coeficientes indeterminados (útil quando o termo for uma função polinomial, exponencial, seno/cosseno etc.). Ideia: testar uma família de funções com parâmetros e determinar esses parâmetros comparando coeficientes. O termo do lado direito é um polinômio de grau 1 (proporcional a x). Uma tentativa direta seria um polinômio de grau 1, y_{p}=Ax+B. Mas atenção: se alguma parte desse palpite pertencer à solução homogênea, é preciso multiplicar o palpite por x suficiente vezes até eliminar a sobreposição. Aqui a solução homogênea contém uma constante ( C_{1}), ou seja, termos constantes aparecem em y_{h}. Portanto não podemos aceitar um termo constante no palpite; a regra prática é multiplicar o palpite por x. Assim, em vez de Ax+B, usamos um palpite da forma
y_{p}(x)=A x^{2}+B x,
um polinômio de grau 2 sem termo constante.

Passo 4

Calcular derivadas do palpite e substituir para determinar A e B.
Derivadas:
y_{p}'(x)=2A x + B, \qquad y_{p}''(x)=2A.
Substituindo em \,y''+2y'=-2x\,:
2A + 2(2A x + B) = -2x.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
2A + 4A x + 2B = -2x.
Agrupando termos por potências de x:
(4A) x + (2A + 2B) = -2x + 0.
Comparando coeficientes para todos os x:
  • Coeficiente de x: \,4A = -2\, \Rightarrow \,A = -\dfrac{1}{2}.
  • Coeficiente constante: \,2A + 2B = 0\,. Substituindo A:
2\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x) = -\tfrac{1}{2}x^{2} + \tfrac{1}{2}x.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x.
Comentário final rapidinho: os constantes C_{1} e C_{2} são determinadas por condições iniciais, se fornecidas; sem elas, a solução geral fica com essas duas constantes.

Passo 6

Verificação (opcional, mas bom para confiança). Diferenciando y(x):
y'(x)=C_{2}(-2)e^{-2x} - x + \tfrac{1}{2}, \qquad y''(x)=C_{2}(4)e^{-2x} - 1.
Calculando y''+2y':
y''+2y' = \big(4C_{2}e^{-2x}-1\big) + 2\big(-2C_{2}e^{-2x}-x+\tfrac{1}{2}\big) =4C_{2}e^{-2x}-1 -4C_{2}e^{-2x}-2x+1 = -2x,
que é exatamente o lado direito reescrito, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x

Exercícios relacionados