Resolva cada equação diferencial ordinária linear de segunda ordem.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
O que se pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação para todo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação é de segunda ordem (aparece
). - Há um termo dependente de
(o termo ), portanto a equação é não-homogênea. - Podemos reescrever a equação isolando os termos com
:
Passo 2
Resolvendo primeiro a equação homogênea associada (isso dá a parte complementar da solução). A homogênea é
Explicação do método usado (tentativa exponencial): procura-se uma solução da forma
. Derivando temos
e
. Substituindo:
Como
, obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Isso dá duas soluções lineares independentes
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração).
Passo 3
Agora achamos uma solução particular
da equação não-homogênea
Método escolhido: coeficientes indeterminados (útil quando o termo for uma função polinomial, exponencial, seno/cosseno etc.). Ideia: testar uma família de funções com parâmetros e determinar esses parâmetros comparando coeficientes. O termo do lado direito é um polinômio de grau
(proporcional a
). Uma tentativa direta seria um polinômio de grau
,
. Mas atenção: se alguma parte desse palpite pertencer à solução homogênea, é preciso multiplicar o palpite por
suficiente vezes até eliminar a sobreposição. Aqui a solução homogênea contém uma constante (
), ou seja, termos constantes aparecem em
. Portanto não podemos aceitar um termo constante no palpite; a regra prática é multiplicar o palpite por
. Assim, em vez de
, usamos um palpite da forma
um polinômio de grau
sem termo constante.
Passo 4
Calcular derivadas do palpite e substituir para determinar
e
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Agrupando termos por potências de
:
Comparando coeficientes para todos os
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
. Substituindo :
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Comentário final rapidinho: os constantes
e
são determinadas por condições iniciais, se fornecidas; sem elas, a solução geral fica com essas duas constantes.
Passo 6
Verificação (opcional, mas bom para confiança). Diferenciando
:
Calculando
:
que é exatamente o lado direito reescrito, confirmando que a solução está correta.