as funções indicadas são soluções linearmente independentes da equação diferencial homogênea associada em (0, \infty). Ache a solução geral da equação não homogênea dada.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right) y=x^{3 / 2};
y_{1}=x^{-1 / 2} \cos x, y_{2}=x^{-1 / 2} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial não homogênea
x^{2}y''+x y'+\Bigl(x^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)y=x^{3/2},
definida em (0,\infty), e diz que as funções
y_{1}=x^{-1/2}\cos x,\qquad y_{2}=x^{-1/2}\sin x
são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. O que o problema pede é: encontrar a solução geral da equação não homogênea (ou seja, a solução geral y que satisfaz a equação com o termo à direita x^{3/2}).
Informações relevantes dadas:
  • A equação linear do segundo ordem com coeficientes em função de x é \;x^{2}y''+x y'+(x^{2}-\tfrac{1}{4})y=x^{3/2}.
  • Duas soluções independentes da homogênea são y_{1} e y_{2} listadas acima.
  • Domínio considerado: (0,\infty).

Passo 2

Escolha do método: como já temos duas soluções fundamentais y_{1} e y_{2} da homogênea, o método mais direto para encontrar uma solução particular da equação não homogênea é o método de variação de parâmetros. Rápida motivação didática (sem provas longas): variação de parâmetros usa as soluções da homogênea para construir uma solução particular da não homogênea fazendo as constantes da combinação linear dependerem de x. Esse método é apropriado quando o segundo membro (aqui x^{3/2}) não é uma função simples que permita coeficientes indeterminados fáceis, e quando já dispomos de uma base de soluções da homogênea — exatamente nosso caso.
Antes de aplicar a fórmula, escrevemos a equação em forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1). Dividindo por x^{2} (válido em (0,\infty)) obtemos
y''+\frac{1}{x}y'+\Bigl(1-\frac{1}{4x^{2}}\Bigr)y = x^{-1/2}.
Vou chamar o lado direito padronizado de g(x), isto é
g(x)=x^{-1/2}.

Passo 3

Relembrando a fórmula de variação de parâmetros para uma equação de forma y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) quando se conhece uma base \{y_{1},y_{2}\} da homogênea:
  • Wronskiano: \;W(x)=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
  • Uma solução particular pode ser tomada como
y_{p}=-y_{1}\int \frac{y_{2}\,g}{W}\,dx + y_{2}\int \frac{y_{1}\,g}{W}\,dx.
Aqui g(x) é o lado direito na forma padrão e W é o Wronskiano das duas soluções conhecidas. A ideia: esses integrais produzem funções que substituem as constantes na combinação linear.
Vou calcular passo a passo y_{1}', y_{2}' e o Wronskiano.
Derivadas:
y_{1}=x^{-1/2}\cos x\quad\Rightarrow\quad y_{1}'=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x,
y_{2}=x^{-1/2}\sin x\quad\Rightarrow\quad y_{2}'=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x + x^{-1/2}\cos x.

Passo 4

Calcular o Wronskiano W(x):
\begin{aligned} W(x)&=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}\\[4pt] &= \bigl(x^{-1/2}\cos x\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x + x^{-1/2}\cos x\bigr) \\\ &\quad -\bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x\bigr)\bigl(x^{-1/2}\sin x\bigr). \end{aligned}
Agora simplificando termo a termo:
\begin{aligned} y_{1}y_{2}'&= -\tfrac{1}{2}x^{-2}\cos x\sin x + x^{-1}\cos^{2}x,\\[4pt] y_{1}'y_{2}&= -\tfrac{1}{2}x^{-2}\cos x\sin x - x^{-1}\sin^{2}x. \end{aligned}
Subtraindo:
W(x)=x^{-1}\bigl(\cos^{2}x+\sin^{2}x\bigr)=x^{-1}.
Portanto W(x)=\dfrac{1}{x} (positivo para x>0), o que confirma que y_{1},y_{2} são linearmente independentes.]

Passo 5

Aplicar as integrais da variação de parâmetros. Precisamos calcular as duas integrais
I_{1}=\int \frac{y_{2}\,g}{W}\,dx,\qquad I_{2}=\int \frac{y_{1}\,g}{W}\,dx.
Lembrando que g(x)=x^{-1/2} e W(x)=x^{-1}, temos 1/W=x. Assim
\frac{y_{2}\,g}{W}=y_{2}\,g\,\frac{1}{W}= \bigl(x^{-1/2}\sin x\bigr)\bigl(x^{-1/2}\bigr)\bigl(x\bigr) = \sin x,
\frac{y_{1}\,g}{W}= \bigl(x^{-1/2}\cos x\bigr)\bigl(x^{-1/2}\bigr)\bigl(x\bigr) = \cos x.
Essas simplificações ficaram bem simpáticas — os fatores em x cancelaram deixando funções trigonométricas simples.
Agora integrar:
I_{1}=\int \sin x\,dx = -\cos x + C_{1}, \qquad I_{2}=\int \cos x\,dx = \sin x + C_{2}.
Para achar uma solução particular qualquer podemos tomar as constantes de integração C_{1},C_{2} igual a zero (elas gerariam apenas combinações da homogênea, que já estão na solução geral). Então escolhemos as primitivas
I_{1}=-\cos x,\qquad I_{2}=\sin x.

Passo 6

Construir a solução particular usando a fórmula:
y_{p}=-y_{1}I_{1}+y_{2}I_{2}.
Substituindo I_{1},I_{2}:
y_{p}=-y_{1}(-\cos x)+y_{2}(\sin x)=y_{1}\cos x + y_{2}\sin x.
Agora expandir:
y_{p}=x^{-1/2}\cos x\cos x + x^{-1/2}\sin x\sin x = x^{-1/2}\bigl(\cos^{2}x+\sin^{2}x\bigr)=x^{-1/2}.
Portanto uma solução particular simples é \;y_{p}=x^{-1/2}.
(Sinal de alívio: deu uma forma muito simples. Se quiser verificar rapidamente, pode substituir y_{p}=x^{-1/2} na equação original e confirmar que o lado esquerdo produz x^{3/2}; essa verificação é um bom exercício.)

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea mais uma particular. A solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}=C_{1}x^{-1/2}\cos x + C_{2}x^{-1/2}\sin x,
portanto a solução geral da não homogênea é
y=y_{h}+y_{p}=C_{1}x^{-1/2}\cos x + C_{2}x^{-1/2}\sin x + x^{-1/2}.

Resposta

y=C_{1}x^{-1/2}\cos x + C_{2}x^{-1/2}\sin x + x^{-1/2}

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