Resolva cada inequação.
h) (1-x)\left(x^{2}+2 x+2\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(1-x)\left(x^{2}+2x+2\right)\leq 0.
Informações dadas: a inequação está escrita como produto de dois fatores, 1-x e x^{2}+2x+2. A tarefa é encontrar todos os valores reais de x que tornam esse produto menor ou igual a zero.

Passo 2

Vamos estudar o segundo fator \,x^{2}+2x+2.,
Uma forma clara de entender o sinal de um polinômio quadrático é completar o quadrado. Faço isso assim:
x^{2}+2x+2 = (x^{2}+2x+1)+1 = (x+1)^{2}+1.
Aqui (x+1)^{2} é sempre maior ou igual a 0 para todo x, e estamos somando 1. Logo,
(x+1)^{2}+1 \geq 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto o fator \,x^{2}+2x+2 é estritamente positivo para todo x real.
(Dica didática rápida: completar o quadrado transforma ax^2+bx+c em a(x+\tfrac{b}{2a})^2 + constante, o que facilita ver o sinal do quadrático sem calcular raízes.)

Passo 3

Como \,x^{2}+2x+2>0 para todo x, o sinal do produto
(1-x)\left(x^{2}+2x+2\right)
é determinado apenas pelo sinal de 1-x. Ou seja, o produto tem o mesmo sinal que 1-x (já que multiplicar por um número positivo não altera o sinal).

Passo 4

A inequação original (1-x)\left(x^{2}+2x+2\right)\leq 0 então equivale a
1-x \leq 0,
porque multiplicamos por um fator sempre positivo (não mudamos a desigualdade de sentido).
Agora resolvo a desigualdade linear \,1-x\leq 0. Subtraindo 1 de ambos os lados:
-x \leq -1.
Multiplicando ambos os lados por -1 (ao multiplicar por negativo, o sentido da desigualdade inverte):
x \geq 1.

Passo 5

Verificação simples por pontos:
  • Para x=0, 1-x=1>0 e x^{2}+2x+2=2>0, produto >0 — não satisfaz a inequação.
  • Para x=2, 1-x=-1<0 e o outro fator >0, produto <0 — satisfaz a inequação.
  • Em x=1, 1-x=0 e o outro fator =1+2+2=5>0, produto =0 — satisfaz a inequação (caso de igualdade).
Os testes confirmam que a solução é x maiores ou iguais a 1.

Resposta

[1,\infty)

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