Resolva cada inequação.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas: a inequação está escrita como produto de dois fatores,
e
. A tarefa é encontrar todos os valores reais de
que tornam esse produto menor ou igual a zero.
Passo 2
Vamos estudar o segundo fator
.,
Uma forma clara de entender o sinal de um polinômio quadrático é completar o quadrado. Faço isso assim:
Uma forma clara de entender o sinal de um polinômio quadrático é completar o quadrado. Faço isso assim:
Aqui
é sempre maior ou igual a
para todo
, e estamos somando
. Logo,
Portanto o fator
é estritamente positivo para todo
real.
(Dica didática rápida: completar o quadrado transforma
em
constante, o que facilita ver o sinal do quadrático sem calcular raízes.)
Passo 3
Como
para todo
, o sinal do produto
é determinado apenas pelo sinal de
. Ou seja, o produto tem o mesmo sinal que
(já que multiplicar por um número positivo não altera o sinal).
Passo 4
A inequação original
então equivale a
porque multiplicamos por um fator sempre positivo (não mudamos a desigualdade de sentido).
Agora resolvo a desigualdade linear
. Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
(ao multiplicar por negativo, o sentido da desigualdade inverte):
Passo 5
Verificação simples por pontos:
- Para
, e , produto — não satisfaz a inequação. - Para
, e o outro fator , produto — satisfaz a inequação. - Em
, e o outro fator , produto — satisfaz a inequação (caso de igualdade).
Os testes confirmam que a solução é
maiores ou iguais a
.