Resolva cada inequação em
.
56.
56.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade
Informações dadas:
- A expressão envolve a função exponencial
. - Quer-se o conjunto de
reais que tornam verdadeira a dupla desigualdade acima.
Passo 2
Observação importante sobre a função exponencial e o logaritmo natural:
- A função exponencial
é estritamente crescente (ou seja, se então ). - O logaritmo natural
é a função inversa de ; portanto para todo . - Como
é estritamente crescente, aplicar em uma desigualdade preserva as relações de ordem. Isso nos permite passar do termo exponencial para um termo linear dentro do .
Passo 3
Aplicamos
em todas as partes da desigualdade, preservando as desigualdades:
Agora usamos
e
. Assim obtemos
Passo 4
Resolvemos a desigualdade linear obtida. Primeiro somamos
a todos os termos:
ou seja
Passo 5
Dividimos todos os termos por
. Como
é positivo, o sentido das desigualdades não muda:
Esse é o intervalo solução. Em forma aproximada (para intuição), usando
, tem-se