Resolva cada inequação em x.
56.
1<e^{3 x-1}<2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade
1 < e^{3x-1} < 2.
Informações dadas:
  • A expressão envolve a função exponencial e^{3x-1}.
  • Quer-se o conjunto de x reais que tornam verdadeira a dupla desigualdade acima.

Passo 2

Observação importante sobre a função exponencial e o logaritmo natural:
  • A função exponencial y \mapsto e^{y} é estritamente crescente (ou seja, se a<b então e^{a}<e^{b}).
  • O logaritmo natural \ln é a função inversa de e^{\,\cdot}; portanto \ln(e^{y})=y para todo y.
  • Como \ln é estritamente crescente, aplicar \ln em uma desigualdade preserva as relações de ordem. Isso nos permite passar do termo exponencial para um termo linear dentro do \ln.

Passo 3

Aplicamos \ln em todas as partes da desigualdade, preservando as desigualdades:
\ln(1) < \ln\big(e^{3x-1}\big) < \ln(2).
Agora usamos \ln(e^{3x-1})=3x-1 e \ln(1)=0. Assim obtemos
0 < 3x-1 < \ln(2).

Passo 4

Resolvemos a desigualdade linear obtida. Primeiro somamos 1 a todos os termos:
0+1 < 3x-1+1 < \ln(2)+1
ou seja
1 < 3x < 1+\ln(2).

Passo 5

Dividimos todos os termos por 3. Como 3 é positivo, o sentido das desigualdades não muda:
\frac{1}{3} < x < \frac{1+\ln(2)}{3}.
Esse é o intervalo solução. Em forma aproximada (para intuição), usando \ln(2)\approx0,6931, tem-se
x\in\left(\frac{1}{3},\frac{1+\ln(2)}{3}\right)\approx(0,333\ldots,\;0,5644\ldots).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}<x<\frac{1+\ln(2)}{3}

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