- Suponha que os domínios de
tem domínio
e
, respectivamente B.
(a) Qual o domínio de
?
(b) Qual o domínio de
?
(c) Qual o domínio de
?
(a) Qual o domínio de
(b) Qual o domínio de
(c) Qual o domínio de
Passo 1
O enunciado dá duas funções e diz que os domínios são
e
:
-
tem domínio . -
tem domínio .
O enunciado pergunta três coisas:
(a) Qual é o domínio de ?
(b) Qual é o domínio de ?
(c) Qual é o domínio de ?
(a) Qual é o domínio de
(b) Qual é o domínio de
(c) Qual é o domínio de
Passo 2
Primeiro vamos lembrar com clareza o que significa “domínio” e qual condição é necessária para que uma operação entre funções esteja bem definida.
- Domínio de uma função: o domínio de
é o conjunto de todos os valores para os quais está definido; escrevemos “o domínio de é ” para significar que, para todo , existe. - Para fazer uma operação entre duas funções (como soma, produto ou quociente) precisamos que ambas as funções envolvidas estejam definidas no mesmo ponto
. Ou seja, para que e existam simultaneamente, precisamos de que pertença tanto a quanto a . - Notação importante:
- Interseção:
é o conjunto de pontos que estão em e em . - Conjunto dos pontos onde
é zero: . - Diferença de conjuntos:
significa os elementos de que não estão em .
- Interseção:
Passo 3
Agora, pensar de forma concreta: para cada operação, quais pontos precisam existir?
- Soma
: para calcular é necessário que exista e que exista. Logo precisamos de e ao mesmo tempo, ou seja . - Produto
: para calcular também é necessário que ambos existam, portanto novamente precisamos de . - Quociente
: para calcular é necessário que exista, que exista e, além disso, que (não se pode dividir por zero). Logo precisamos de e .
Passo 4
Formalizando cada domínio com essa ideia:
- Para
: o domínio é o conjunto de todos tais que e existem simultaneamente. Portanto o domínio é
- Para
: a mesma condição (existência de e ): domínio é
- Para
: além de exige-se . Assim o domínio é
Outra forma equivalente de escrever é
Passo 5
Pequena “aula prática” para fixar (como aplicar isso rápido numa prova):
- Regra curta para soma/produto: sempre pegue a interseção dos domínios. Pense “só posso operar onde as duas funções existem”.
- Regra curta para quociente: pegue a interseção e exclua os pontos onde o denominador é zero.
- Exemplo simples: se
e , então . Assim e têm domínio . Para verifique se há pontos em com ; se houver, esses pontos são excluídos também.
Passo 6
Dicas de prova/justificativa curta (útil responder em prova):
- Justifique que
é necessário e suficiente para soma e produto: se então e existem e a operação pode ser feita; se então algum dos dois não existe e a operação não é definida. - Para o quociente, explique o motivo da exclusão de zeros: divisão por zero não é permitida, logo os
com devem ser removidos mesmo que pertençam a .