1. Suponha que os domínios de f tem domínio A e g, respectivamente B.
    (a) Qual o domínio de f+g ?
    (b) Qual o domínio de f g ?
    (c) Qual o domínio de f / g ?

Passo 1

O enunciado dá duas funções e diz que os domínios são A e B:
  • f tem domínio A.
  • g tem domínio B.
O enunciado pergunta três coisas:
(a) Qual é o domínio de f+g?
(b) Qual é o domínio de f g?
(c) Qual é o domínio de \dfrac{f}{g}?

Passo 2

Primeiro vamos lembrar com clareza o que significa “domínio” e qual condição é necessária para que uma operação entre funções esteja bem definida.
  • Domínio de uma função: o domínio de f é o conjunto de todos os valores x para os quais f(x) está definido; escrevemos “o domínio de f é A” para significar que, para todo x\in A, f(x) existe.
  • Para fazer uma operação entre duas funções (como soma, produto ou quociente) precisamos que ambas as funções envolvidas estejam definidas no mesmo ponto x. Ou seja, para que f(x) e g(x) existam simultaneamente, precisamos de x que pertença tanto a A quanto a B.
  • Notação importante:
    • Interseção: \;A\cap B\; é o conjunto de pontos que estão em A e em B.
    • Conjunto dos pontos onde g é zero: \{x\in A\cap B \mid g(x)=0\}.
    • Diferença de conjuntos: X\setminus Y significa os elementos de X que não estão em Y.

Passo 3

Agora, pensar de forma concreta: para cada operação, quais pontos precisam existir?
  • Soma f+g: para calcular (f+g)(x)=f(x)+g(x) é necessário que f(x) exista e que g(x) exista. Logo precisamos de x\in A e x\in B ao mesmo tempo, ou seja x\in A\cap B.
  • Produto f g: para calcular (f g)(x)=f(x)\cdot g(x) também é necessário que ambos existam, portanto novamente precisamos de x\in A\cap B.
  • Quociente \dfrac{f}{g}: para calcular \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} é necessário que f(x) exista, que g(x) exista e, além disso, que g(x)\neq 0 (não se pode dividir por zero). Logo precisamos de x\in A\cap B e g(x)\neq 0.

Passo 4

Formalizando cada domínio com essa ideia:
  • Para f+g: o domínio é o conjunto de todos x tais que f(x) e g(x) existem simultaneamente. Portanto o domínio é
\{x\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\in B\} = A\cap B.
  • Para f g: a mesma condição (existência de f(x) e g(x)): domínio é
A\cap B.
  • Para \dfrac{f}{g}: além de x\in A\cap B exige-se g(x)\neq 0. Assim o domínio é
\{x\in A\cap B \mid g(x)\neq 0\}.
Outra forma equivalente de escrever é
(A\cap B)\setminus \{x\in A\cap B \mid g(x)=0\}.

Passo 5

Pequena “aula prática” para fixar (como aplicar isso rápido numa prova):
  • Regra curta para soma/produto: sempre pegue a interseção dos domínios. Pense “só posso operar onde as duas funções existem”.
  • Regra curta para quociente: pegue a interseção e exclua os pontos onde o denominador é zero.
  • Exemplo simples: se A=\mathbb{R}\setminus\{0\} e B=\mathbb{R}, então A\cap B=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Assim f+g e f g têm domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}. Para f/g verifique se há pontos em A\cap B com g(x)=0; se houver, esses pontos são excluídos também.

Passo 6

Dicas de prova/justificativa curta (útil responder em prova):
  • Justifique que A\cap B é necessário e suficiente para soma e produto: se x\in A\cap B então f(x) e g(x) existem e a operação pode ser feita; se x\notin A\cap B então algum dos dois não existe e a operação não é definida.
  • Para o quociente, explique o motivo da exclusão de zeros: divisão por zero não é permitida, logo os x com g(x)=0 devem ser removidos mesmo que pertençam a A\cap B.

Resposta

A\cap B
A\cap B
\{x\in A\cap B \mid g(x)\neq 0\}

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