Simplifique a expressão \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}, h \neq 0, quando:
f(x)=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede que simplifiquemos a expressão
\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h},\qquad h\neq 0,
onde foi dada a função
f(x)=x^{2}+x.
Informações relevantes:
  • A variável fixa do quociente é x_{0}.
  • O incremento é h, com h\neq 0 (isso permite cancelar h depois).
  • Precisamos substituir x=x_{0}+h em f, subtrair f(x_{0}) e simplificar algebricamente.

Passo 2

Calcular f\left(x_{0}+h\right) fazendo a substituição x\mapsto x_{0}+h:
f\left(x_{0}+h\right)=\left(x_{0}+h\right)^{2}+\left(x_{0}+h\right).
Lembrete rápido: a fórmula de expansão é \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=x_{0} e b=h.

Passo 3

Expandindo usando a fórmula:
\left(x_{0}+h\right)^{2}=x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2},
portanto
f\left(x_{0}+h\right)=x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}+x_{0}+h.

Passo 4

Escrever o numerador do quociente substituindo f(x_{0}+h) e f(x_{0}):
f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=\bigl(x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}+x_{0}+h\bigr)-\bigl(x_{0}^{2}+x_{0}\bigr).
Agora cancelar os termos iguais x_{0}^{2} e x_{0}:
f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=2x_{0}h+h^{2}+h.

Passo 5

Colocar o numerador sobre h:
\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=\frac{2x_{0}h+h^{2}+h}{h}.
Fatorar h no numerador:
2x_{0}h+h^{2}+h=h\bigl(2x_{0}+h+1\bigr).
Como h\neq 0, podemos dividir por h e obter:
\frac{h\bigl(2x_{0}+h+1\bigr)}{h}=2x_{0}+h+1.

Passo 6

Interpretação final e dica prática: a expressão simplificada é
2x_{0}+h+1.
Se você, na prova, for levado a calcular a derivada f'(x_{0}) pelo limite do quociente, basta fazer h\to 0 e obter f'(x_{0})=2x_{0}+1. Um exemplo numérico rápido para checar: se x_{0}=2 e h=0,1, então o quociente dá 2\cdot2+0,1+1=5,1.

Resposta

2x_{0}+h+1

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