Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{3} x \cos ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^3 x \,\cos^3 x \,dx
Este é um caso de integração de função trigonométrica onde vamos usar a identidade \cos^2 x = 1 - \sin^2 x e depois fazer uma substituição do tipo u = \sin x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando isolando um fator \cos x\,dx para servir de du. Observamos que
\sin^3 x \,\cos^3 x = \sin^3 x \,\cos^2 x \,\cos x = \sin^3 x\,(1 - \sin^2 x)\,\cos x.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx,
a integral fica
\int \sin^3 x\,(1 - \sin^2 x)\,\cos x\,dx = \int u^3\,(1 - u^2)\,du = \int \bigl(u^3 - u^5\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
\int \bigl(u^3 - u^5\bigr)\,du = \int u^3\,du \;-\;\int u^5\,du = \frac{u^4}{4} \;-\;\frac{u^6}{6} + C.

Passo 5

Voltando a variável original ( u = \sin x), obtemos
\frac{\sin^4 x}{4} \;-\;\frac{\sin^6 x}{6} + C.

Resposta

\int \sin^3 x \,\cos^3 x \,dx = \frac{\sin^4 x}{4} - \frac{\sin^6 x}{6} + C.

Exercícios relacionados