Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \cos ^{6} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos^{6}x\,dx.
O conteúdo usado será a redução de potências de cosseno: \cos^{2}x = \tfrac{1+\cos2x}{2} e a fórmula de ângulo triplo \cos^{3}\theta = \tfrac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Passo 2

Escrevemos \cos^{6}x como (\cos^{2}x)^{3} e usamos a redução de potência:
\cos^{6}x = \bigl(\cos^{2}x\bigr)^{3} = \Bigl(\frac{1+\cos2x}{2}\Bigr)^{3} = \frac{1}{8}\,(1 + \cos2x)^{3}.

Passo 3

Expandimos o cubo (1+\cos2x)^{3} pelo binômio de Newton:
(1+\cos2x)^{3} = 1 + 3\cos2x + 3\cos^{2}2x + \cos^{3}2x,
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\cos^{6}x = \frac{1}{8}\bigl[\,1 + 3\cos2x + 3\cos^{2}2x + \cos^{3}2x\bigr].

Passo 4

Aplicamos \cos^{2}2x = \tfrac{1+\cos4x}{2} e a fórmula de triplo ângulo \cos^{3}2x = \tfrac{\cos6x + 3\cos2x}{4}. Substituindo:
3\cos^{2}2x = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos4x, \quad \cos^{3}2x = \frac{\cos6x + 3\cos2x}{4}.

Passo 5

Agrupamos tudo em uma soma de cossenos:
\cos^{6}x = \frac{1}{8}\Bigl[ 1 + 3\cos2x + \Bigl(\tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2}\cos4x\Bigr) + \Bigl(\tfrac{\cos6x + 3\cos2x}{4}\Bigr) \Bigr].
Fazendo as frações comuns e somando coeficientes, obtemos
\cos^{6}x = \frac{5}{16} + \frac{15}{32}\cos2x + \frac{3}{16}\cos4x + \frac{1}{32}\cos6x.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \cos^{6}x\,dx = \int \Bigl(\tfrac{5}{16} + \tfrac{15}{32}\cos2x + \tfrac{3}{16}\cos4x + \tfrac{1}{32}\cos6x\Bigr) dx.
Calculando cada parte:
\int \tfrac{5}{16}\,dx = \tfrac{5}{16}x, \quad \int \tfrac{15}{32}\cos2x\,dx = \tfrac{15}{32}\cdot\frac{\sin2x}{2} = \tfrac{15}{64}\sin2x,
\int \tfrac{3}{16}\cos4x\,dx = \tfrac{3}{16}\cdot\frac{\sin4x}{4} = \tfrac{3}{64}\sin4x, \quad \int \tfrac{1}{32}\cos6x\,dx = \tfrac{1}{32}\cdot\frac{\sin6x}{6} = \tfrac{1}{192}\sin6x.

Resposta

\boxed{ \int \cos^{6}x\,dx = \frac{5}{16}x + \frac{15}{64}\sin2x + \frac{3}{64}\sin4x + \frac{1}{192}\sin6x + C. }

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