Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{2} x \cos ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sin^{2}x \,\cos^{3}x \,dx
O conteúdo é integração de funções trigonométricas com potência ímpar. Vamos usar uma identidade para reduzir poderes e, em seguida, uma substituição.

Passo 2

Como a potência de \cos x é ímpar, separamos um fator \cos x para a substituição e usamos
\cos^{3}x = \cos^{2}x\;\cos x,
com
\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx.
Substituindo na integral:
\int \sin^{2}x\,\cos^{3}x\,dx = \int \sin^{2}x\,(1-\sin^{2}x)\,\cos x\,dx = \int u^{2}(1 - u^{2})\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
\int (u^{2} - u^{4})\,du = \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5} + C.

Resposta

\frac{\sin^{3}x}{3} - \frac{\sin^{5}x}{5} + C

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