Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{5} x \cos ^{2} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{5}x \,\cos^{2}x \,dx.
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade \sin^2x=1-\cos^2x e a substituição u=\cos x.

Passo 2

Separe um fator \sin x\,dx para a substituição e escreva o resto em termos de \cos x:
\sin^{5}x=\bigl(\sin^2x\bigr)^2\sin x =(1-\cos^2x)^2\sin x,
então a integral fica
\int \sin^{5}x\,\cos^{2}x\,dx =\int (1-\cos^2x)^2\,\cos^2x\,\sin x\,dx.

Passo 3

Faça a substituição
u=\cos x, \qquad du=-\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx=-du.
Assim a integral transforma-se em
-\int (1-u^2)^2\,u^2\,du.

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo.
(1-u^2)^2\,u^2 =u^2-2u^4+u^6.
-\int (u^2-2u^4+u^6)\,du =-\int u^2\,du +2\int u^4\,du -\int u^6\,du.
-\int u^2\,du=-\frac{u^3}{3}, \quad 2\int u^4\,du=2\cdot\frac{u^5}{5}, \quad -\int u^6\,du=-\frac{u^7}{7}.
\text{Logo o resultado em }u\text{ é } -\frac{u^3}{3}+\frac{2\,u^5}{5}-\frac{u^7}{7}+C.é

Passo 5

Substituindo de volta u=\cos x, obtemos
-\frac{\cos^3x}{3}+\frac{2\cos^5x}{5}-\frac{\cos^7x}{7}+C.

Resposta

-\frac{\cos^3x}{3}+\frac{2\cos^5x}{5}-\frac{\cos^7x}{7}+C.

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