Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{4} z dz

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int \sin^{4}z \,dz
O conteúdo envolve técnicas de integração de funções trigonométricas usando identidades de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência
\sin^{2}z = \frac{1 - \cos 2z}{2}
Logo
\sin^{4}z = \bigl(\sin^{2}z\bigr)^{2} = \left(\frac{1 - \cos 2z}{2}\right)^{2} = \frac{1 - 2\cos 2z + \cos^{2}2z}{4}.

Passo 3

Aplicamos a identidade
\cos^{2}2z = \frac{1 + \cos 4z}{2}
Substituindo em \sin^{4}z e simplificando, obtemos
\sin^{4}z = \frac{1 - 2\cos 2z + \tfrac{1 + \cos 4z}{2}}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2z + \frac{1}{8}\cos 4z.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{3}{8}\,dz = \frac{3}{8}z,
\int \Bigl(-\tfrac12\cos 2z\Bigr)\,dz = -\frac12\cdot\frac{\sin 2z}{2} = -\frac{1}{4}\sin 2z,
\int \frac{1}{8}\cos 4z\,dz = \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin 4z}{4} = \frac{1}{32}\sin 4z.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C:

Resposta

\int \sin^{4}z\,dz = \frac{3}{8}z \;-\;\frac{1}{4}\sin 2z \;+\;\frac{1}{32}\sin 4z \;+\;C.

Exercícios relacionados