Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sin^{3}x \,dx
Este é um problema de integração de potências de função trigonométrica. Vamos usar a identidade de redução de potência e, em seguida, uma substituição simples para resolver.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^{3}x = \sin x\;\bigl(1 - \cos^{2}x\bigr)
Logo,
\int \sin^{3}x \,dx = \int \sin x\;\bigl(1 - \cos^{2}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x,\quad du = -\sin x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -du.
Assim, a integral passa a ser
\int \sin x\;(1 - \cos^{2}x)\,dx = -\int \bigl(1 - u^{2}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos o polinômio em u:
-\int \bigl(1 - u^{2}\bigr)\,du = -\Bigl(\int 1\,du - \int u^{2}\,du\Bigr) = -\Bigl(u - \tfrac{u^{3}}{3}\Bigr) + C = -u + \tfrac{u^{3}}{3} + C.
Voltando à variável x (isto é, u=\cos x), obtemos
-\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C.

Resposta

\int \sin^{3}x \,dx = -\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C.

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