Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin ^{2} 3 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(3x)\,dx
Este é um caso clássico de integração de potência de função trigonométrica; vamos usar a identidade de redução para \sin^{2}.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin^{2}u = \frac{1 - \cos(2u)}{2}
com u = 3x. Assim
\sin^{2}(3x) = \frac{1 - \cos\bigl(2\cdot 3x\bigr)}{2} = \frac{1 - \cos(6x)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \sin^{2}(3x)\,dx = \int \frac{1 - \cos(6x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx - \frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx.
Agora,
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{x}{2},
e, usando \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax),
\frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\sin(6x) = \frac{\sin(6x)}{12}.

Resposta

\int \sin^{2}(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(6x)}{12} + C.

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