Resolva cada integral abaixo, apresentando os detalhes da resolução:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é uma função
tal que . - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: uma boa estratégia é usar substituição trigonométrica porque há
no denominador. A substituição clássica para termos da forma
é
Motivo: com
tem-se
(para
em intervalo onde
), e isso simplifica fortemente a raiz. Vou aplicar essa substituição.
Passo 3
Calcule as expressões auxiliares da substituição
.
-
. -
. -
.
Agora substituímos tudo na integral original.
Passo 4
Substituição na integral:
As
do numerador e denominador cancelam, ficando:
Passo 5
Agora precisamos integrar
. Para potências ímpares de seno uma técnica eficiente é separar um fator
e usar a identidade
. Assim:
Logo
Passo 6
Fazer a substituição
para integrar o polinômio em
.
-
. -
ou .
Então
Expande o integrando:
Portanto
Passo 7
Integração termo a termo:
Calcule cada integral:
Substituindo:
Passo 8
Voltar à variável
substituindo
:
Passo 9
Retornar à variável
usando
(a relação vem de
e
; aqui assumimos o ramo em que a raiz representa o cosseno não-negativo ou entendemos a primitiva válida por partes conforme o domínio). Substituindo:
Passo 10
Podemos deixar a resposta nesse formato, que é já uma primitiva explícita em função de
. Para checar mentalmente: derivando termo a termo usando regra da cadeia recupera-se
.