Resolva cada integral abaixo, apresentando os detalhes da resolução:
\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{x^{5}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{5}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: uma boa estratégia é usar substituição trigonométrica porque há \sqrt{1-x^{2}} no denominador. A substituição clássica para termos da forma \sqrt{1-x^{2}} é
x=\sin\theta.
Motivo: com x=\sin\theta tem-se \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (para \theta em intervalo onde \cos\theta\ge0), e isso simplifica fortemente a raiz. Vou aplicar essa substituição.

Passo 3

Calcule as expressões auxiliares da substituição x=\sin\theta.
  • dx=\cos\theta\,d\theta.
  • \sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta.
  • x^{5}=(\sin\theta)^{5}=\sin^{5}\theta.
Agora substituímos tudo na integral original.

Passo 4

Substituição na integral:
\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{\sin^{5}\theta}{\cos\theta}\cdot \cos\theta\,d\theta.
As \cos\theta do numerador e denominador cancelam, ficando:
\int \sin^{5}\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora precisamos integrar \int \sin^{5}\theta\,d\theta. Para potências ímpares de seno uma técnica eficiente é separar um fator \sin\theta e usar a identidade \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta. Assim:
\sin^{5}\theta = \sin^{4}\theta\sin\theta = (\sin^{2}\theta)^{2}\sin\theta = (1-\cos^{2}\theta)^{2}\sin\theta.
Logo
\int \sin^{5}\theta\,d\theta = \int (1-\cos^{2}\theta)^{2}\sin\theta\,d\theta.

Passo 6

Fazer a substituição u=\cos\theta para integrar o polinômio em \cos\theta.
  • u=\cos\theta.
  • du=-\sin\theta\,d\theta ou \sin\theta\,d\theta=-du.
Então
\int (1-\cos^{2}\theta)^{2}\sin\theta\,d\theta = -\int (1-u^{2})^{2}\,du.
Expande o integrando:
(1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
Portanto
-\int (1-u^{2})^{2}\,du = -\int (1-2u^{2}+u^{4})\,du.

Passo 7

Integração termo a termo:
-\int (1-2u^{2}+u^{4})\,du = -\left( \int 1\,du -2\int u^{2}\,du + \int u^{4}\,du \right).
Calcule cada integral:
\int 1\,du = u,\qquad \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},\qquad \int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5}.
Substituindo:
-\left(u -2\cdot\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5}\right) = - u + \frac{2}{3}u^{3} - \frac{1}{5}u^{5} + C.

Passo 8

Voltar à variável \theta substituindo u=\cos\theta:
\int \sin^{5}\theta\,d\theta = -\cos\theta + \frac{2}{3}\cos^{3}\theta - \frac{1}{5}\cos^{5}\theta + C.

Passo 9

Retornar à variável x usando \cos\theta=\sqrt{1-x^{2}} (a relação vem de x=\sin\theta e \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}; aqui assumimos o ramo em que a raiz representa o cosseno não-negativo ou entendemos a primitiva válida por partes conforme o domínio). Substituindo:
-\cos\theta + \frac{2}{3}\cos^{3}\theta - \frac{1}{5}\cos^{5}\theta + C = -\sqrt{1-x^{2}} + \frac{2}{3}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3/2} - \frac{1}{5}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{5/2} + C.

Passo 10

Podemos deixar a resposta nesse formato, que é já uma primitiva explícita em função de x. Para checar mentalmente: derivando termo a termo usando regra da cadeia recupera-se \dfrac{x^{5}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Resposta

-\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{2}{3}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3/2}-\dfrac{1}{5}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{5/2}+C

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