Resolva cada integral abaixo, apresentando os detalhes da resolução:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Vamos observar a estrutura da função racional para escolher um caminho prático. O numerador tem grau
e o denominador grau
, então a fração é própria (grau do numerador menor que do denominador). Um método natural e eficiente para integrar frações racionais próprias é decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos mais simples cuja integral seja conhecida.
Passo 3
Como o denominador é produto de um fator linear
e um quadrático
que veremos ser irreducível (discriminante negativo), o formato da decomposição em frações parciais é:
onde
são constantes a determinar. Explicação: a cada fator linear corresponde um termo da forma
e a cada fator quadrático irreduzível corresponde um termo com numerador linear
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potência de
. Primeiro expandindo:
Somando:
Passo 5
Comparando coeficientes com o lado esquerdo
Resolvendo passo a passo:
- Da primeira equação .
- Da terceira equação
temos . - Substituindo
e na segunda: . Isso dá
- Então
e .]
Passo 6
Com os coeficientes descobertos a decomposição é
Portanto a integral se separa em duas integrais mais simples:
Passo 7
A primeira integral é imediata:
Explicação curta:
.
Passo 8
Para a segunda integral vamos simplificar o denominador completando o quadrado:
Isso transforma o quadrático em uma soma de quadrado mais constante, o que é útil para obter integrais do tipo
e
.
Passo 9
Façamos a substituição conveniente
. Então
e o numerador
pode ser reescrito em termos de
:
Assim
Passo 10
A integral
é tratada por substituição rápida
(ou reconhecendo que a derivada do denominador é
):
Explicação: como
, essa integral produz logaritmo natural.
Passo 11
A outra integral é a clássica arco-tangente:
Explicação:
.
Passo 12
Somando tudo e voltando para a variável
(lembre que
), obtemos a primitiva completa:
onde
é constante de integração.