Resolva cada integral abaixo, apresentando os detalhes da resolução:
\int \frac{5 x+12}{(x-1)\left(x^{2}+6 x+10\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5x+12}{(x-1)\left(x^{2}+6x+10\right)}\,dx.
Informações dadas:
  • Numerador: 5x+12.
  • Denominador: (x-1)\left(x^{2}+6x+10\right).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Vamos observar a estrutura da função racional para escolher um caminho prático. O numerador tem grau 1 e o denominador grau 3, então a fração é própria (grau do numerador menor que do denominador). Um método natural e eficiente para integrar frações racionais próprias é decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos mais simples cuja integral seja conhecida.

Passo 3

Como o denominador é produto de um fator linear x-1 e um quadrático x^{2}+6x+10 que veremos ser irreducível (discriminante negativo), o formato da decomposição em frações parciais é:
\frac{5x+12}{(x-1)(x^{2}+6x+10)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+6x+10},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicação: a cada fator linear corresponde um termo da forma A/(x-1) e a cada fator quadrático irreduzível corresponde um termo com numerador linear Bx+C.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+6x+10) obtemos a identidade polinomial
5x+12 = A\bigl(x^{2}+6x+10\bigr) + (Bx+C)(x-1).
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potência de x. Primeiro expandindo:
A(x^{2}+6x+10) = A x^{2} + 6A x + 10A,
(Bx+C)(x-1) = Bx^{2} - Bx + Cx - C = B x^{2} + (-B + C) x - C.
Somando:
A x^{2} + 6A x + 10A + B x^{2} + (-B + C) x - C = (A+B)x^{2} + (6A - B + C)x + (10A - C).

Passo 5

Comparando coeficientes com o lado esquerdo 5x+12\) (que tem coeficiente de \(x^{2}\) igual a \(0\)), obtemos o sistema: \[\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 6A - B + C = 5,\\[4pt] 10A - C = 12. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da primeira equação A+B=0\] temos \(B=-A.
  • Da terceira equação 10A - C = 12 temos C = 10A - 12.
  • Substituindo B e C na segunda: 6A - (-A) + (10A-12) = 5. Isso dá
6A + A + 10A - 12 = 5 \quad\Rightarrow\quad 17A = 17 \quad\Rightarrow\quad A = 1.
  • Então B = -1 e C = 10\cdot1 - 12 = -2.]

Passo 6

Com os coeficientes descobertos a decomposição é
\frac{5x+12}{(x-1)(x^{2}+6x+10)} = \frac{1}{x-1} + \frac{-x-2}{x^{2}+6x+10}.
Portanto a integral se separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{5x+12}{(x-1)(x^{2}+6x+10)}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx + \int \frac{-x-2}{x^{2}+6x+10}\,dx.

Passo 7

A primeira integral é imediata:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1|.
Explicação curta: \dfrac{d}{dx}\ln|x-1| = \dfrac{1}{x-1}.

Passo 8

Para a segunda integral vamos simplificar o denominador completando o quadrado:
x^{2}+6x+10 = (x^{2}+6x+9)+1 = (x+3)^{2}+1.
Isso transforma o quadrático em uma soma de quadrado mais constante, o que é útil para obter integrais do tipo \int \dfrac{u}{u^{2}+1}du e \int \dfrac{1}{u^{2}+1}du.

Passo 9

Façamos a substituição conveniente u = x+3. Então du = dx e o numerador -x-2 pode ser reescrito em termos de u:
-x-2 = -(x+3) +1 = -u + 1.
Assim
\int \frac{-x-2}{x^{2}+6x+10}\,dx = \int \frac{-u+1}{u^{2}+1}\,du = \int \frac{-u}{u^{2}+1}\,du + \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.

Passo 10

A integral \int \dfrac{-u}{u^{2}+1}\,du é tratada por substituição rápida w = u^{2}+1 (ou reconhecendo que a derivada do denominador é 2u):
\int \frac{-u}{u^{2}+1}\,du = -\tfrac{1}{2}\int \frac{2u}{u^{2}+1}\,du = -\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(u^{2}+1\bigr).
Explicação: como \dfrac{d}{du}\bigl(u^{2}+1\bigr)=2u, essa integral produz logaritmo natural.

Passo 11

A outra integral é a clássica arco-tangente:
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan(u).
Explicação: \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}.

Passo 12

Somando tudo e voltando para a variável x (lembre que u=x+3), obtemos a primitiva completa:
\int \frac{5x+12}{(x-1)(x^{2}+6x+10)}\,dx = \ln|x-1| - \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl((x+3)^{2}+1\bigr) + \arctan(x+3) + C,
onde C é constante de integração.

Resposta

\ln|x-1|-\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl((x+3)^{2}+1\bigr)+\arctan(x+3)+C

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