Resolva cada item, apresentando apenas as respostas finais. O primeiro item está resolvido como exemplo. (4pts)
Identifique o PVI equivalente à equação y(x)=-6+\int_{2}^{x} 4 s(y(s)+\cos s) d s.
y^{\prime}=4 x(y+\cos x), \quad y(2)=-6

Passo 1

O enunciado dá a equação integral
y(x) = -6 + \int_{2}^{x}4s\bigl(y(s)+\cos s\bigr)\,ds
e pede o PVI (problema de valor inicial) equivalente. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para diferenciar essa expressão.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-6\Bigr) + \frac{d}{dx}\int_{2}^{x}4s\bigl(y(s)+\cos s\bigr)\,ds = 0 + 4x\bigl(y(x)+\cos x\bigr).

Passo 3

Para o valor inicial, basta avaliar em x=2:
y(2) = -6 + \int_{2}^{2}4s\bigl(y(s)+\cos s\bigr)\,ds = -6 + 0 = -6.

Resposta

y' = 4x\bigl(y+\cos x\bigr), \quad y(2) = -6.

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