Let
be a polynomial with integer coefficients s.t.
Determine all the possible values of
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um polinômio com coeficientes inteiros,
e que existem
tais que
Como
, escrevemos
onde
também tem coeficientes inteiros. Então
Além disso, para qualquer polinômio de coeficientes inteiros vale que
divide
.
Passo 2
Factorizamos os números:
1999 é primo, logo suas únicas escritas como com
são
1999 é primo, logo suas únicas escritas como
2001 se fatora como
,
,
e as permutações, mais
.
Ou seja, as opções para são
Ou seja, as opções para
Passo 3
Impondo a condição de divisibilidade
testamos os casos possíveis de
versus cada
.
– Se
, então
e só ocorre divisibilidade quando
e
. Nesse caso
.
– Se
, então
e a única escolha de
que satisfaz a divisibilidade é
com
.
Passo 4
No segundo caso temos
Aplicando de novo a condição de divisibilidade a cada par de pontos:
-
deve ser múltiplo de , ou seja
-
deve ser múltiplo de , ou seja
Dessas duas congruências segue
E
. Como
e
, temos
Os valores inteiros de
que cabem no intervalo são
.
Resposta
Os possíveis valores de
são
isto é
além de