Let p(x) be a polynomial with integer coefficients s.t.
\begin{gathered} p(0)=0 \\\\ 0 \leq p(1) \leq 10^{7} . \end{gathered}
\begin{gathered} \text { There exist } a, b \in \mathbb{N} \text { s.t. } \\\ p(a)=1999 \quad p(b)=2001 \end{gathered}
Determine all the possible values of p(1).

Passo 1

O enunciado diz que p(x) é um polinômio com coeficientes inteiros,
p(0)=0,\quad 0\le p(1)\le 10^7,
e que existem a,b\in\mathbb{N} tais que
p(a)=1999,\quad p(b)=2001.
Como p(0)=0, escrevemos
p(x)=x\,q(x),
onde q(x) também tem coeficientes inteiros. Então
a\,q(a)=1999,\quad b\,q(b)=2001.
Além disso, para qualquer polinômio de coeficientes inteiros vale que x-y divide q(x)-q(y).

Passo 2

Factorizamos os números:
1999 é primo, logo suas únicas escritas como a\cdot q(a) com a>0 são
(a,q(a))=(1,1999)\quad\text{ou}\quad (1999,1).
2001 se fatora como 3\cdot667, 23\cdot87, 29\cdot69 e as permutações, mais 1\cdot2001.
Ou seja, as opções para (b,q(b)) são
(1,2001),(3,667),(23,87),(29,69),(69,29),(87,23),(667,3),(2001,1).

Passo 3

Impondo a condição de divisibilidade
q(b)-q(a)\equiv 0\pmod{\,b-a\,},
testamos os casos possíveis de (a,q(a)) versus cada (b,q(b)).
– Se (a,q(a))=(1,1999), então q(1)=1999 e só ocorre divisibilidade quando b=3 e q(3)=667. Nesse caso p(1)=q(1)=1999.
– Se (a,q(a))=(1999,1), então q(1999)=1 e a única escolha de b que satisfaz a divisibilidade é b=2001 com q(2001)=1.

Passo 4

No segundo caso temos
q(1999)=1,\quad q(2001)=1.
Aplicando de novo a condição de divisibilidade a cada par de pontos:
  1. q(2001)-q(1) deve ser múltiplo de 2001-1=2000, ou seja
1 - q(1)\equiv 0\pmod{2000}.
  1. q(1999)-q(1) deve ser múltiplo de 1999-1=1998, ou seja
1 - q(1)\equiv 0\pmod{1998}.
Dessas duas congruências segue
q(1)\equiv 1 \pmod{\mathrm{lcm}(1998,2000)}.
E \mathrm{lcm}(1998,2000)=1\,998\,000. Como p(1)=q(1) e 0\le p(1)\le10^7, temos
p(1)=1 + k\cdot1\,998\,000,\quad k\in\mathbb{Z},\;0\le 1 + k\,1\,998\,000\le10^7.
Os valores inteiros de k que cabem no intervalo são k=0,1,2,3,4,5.

Resposta

Os possíveis valores de p(1) são
1999 \quad\text{e}\quad 1 + 1\,998\,000\,k\quad\text{para }k=0,1,2,3,4,5,
isto é
1,\;1\,998\,001,\;3\,996\,001,\;5\,994\,001,\;7\,992\,001,\;9\,990\,001
além de
1999.

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