Resolva cada item, apresentando apenas as respostas finais. O primeiro item está resolvido como exemplo. (4pts)
Resolva o PVI \left(y^{3}-e^{y}\right) y^{\prime}=\operatorname{sen} x-2 x, y(0)=2 (deixe a solução implícita).
\frac{y^{4}}{4}-e^{y}=-\cos x-x^{2}+5-e^{2}

Passo 1

O problema nos dá o PVI
\bigl(y^{3}-e^{y}\bigr)\,y' = \sin x - 2x, \quad y(0)=2,
e pede a solução implícita.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos ambos os lados:
\int \bigl(y^{3}-e^{y}\bigr)\,dy = \int \bigl(\sin x - 2x\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculando as integrais, obtemos
\frac{y^{4}}{4}-e^{y} = -\cos x - x^{2} + C.

Passo 4

Usando y(0)=2:
\frac{2^{4}}{4}-e^{2} = -\cos 0 - 0 + C \implies 4 - e^{2} = -1 + C \implies C = 5 - e^{2}.

Resposta

\frac{y^{4}}{4}-e^{y} = -\cos x - x^{2} + 5 - e^{2}.

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