Determine, justificando, se existem os limites seguintes:
lim x 1|log x| sin (1e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede
limxto1|log x|;sin!l(tfrac1e^x-1r)
O conteúdo envolvido é limite de produto de funções, onde um fator tende a zero e o outro é limitado. Vamos usar continuidade, limites e o teorema do confronto.

Passo 2

Estudamos primeiro
sin!l(tfrac1e^x-1r)
Como
limxto1(e^x-1)=e-1neq0,
segue
limxto1tfrac1e^x-1=tfrac1e-1
E como sin é contínua,
limxto1sin!l(tfrac1e^x-1r) =sin!l(tfrac1e-1r),
um valor finito. Em particular esse termo permanece limitado por -1 e 1.

Passo 3

Agora
|log x|
é contínua para x>0 e log1=0, logo
limxto1|log x|=0

Passo 4

Pelo teorema do confronto, para x próximo de 1 vale
-|log x|;<=;|log x|;sin!l(tfrac1e^x-1r);<=;|log x|
Como limxto1pm|log x|=0, concluímos
limxto1|log x|;sin!l(tfrac1e^x-1r)=0

Resposta

0

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