Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
, para uma constante
a>0 .
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função
onde
a>0 . O conteúdo aqui é aplicação direta da definição de transformada de Fourier e cálculo de uma integral imprópria convergente.
Passo 2
Vamos usar a definição usual da transformada de Fourier sem fatores de normalização:
Como
f(x)=0 para
x<=0 , reduzimos o integral de
-infty a
infty para um integral de
0 a
infty :
Passo 3
No integrando podemos juntar os expoentes:
Logo,
Passo 4
Para
Re(a)>0 esse integral impróprio converge e usamos a fórmula
Aqui
c = a + iomega satisfaz
Re(c)=a>0 . Portanto,
Passo 5
Concluímos que a transformada de Fourier de
f(x) é a função de
omega dada acima.