Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
f(x)=ce^-a x, se x>0 0, se x <= 0, para uma constante a>0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(x)= e^-a x, & x>0, 0, & x<=0,
onde a>0. O conteúdo aqui é aplicação direta da definição de transformada de Fourier e cálculo de uma integral imprópria convergente.

Passo 2

Vamos usar a definição usual da transformada de Fourier sem fatores de normalização:
Ff(omega)=integral-infty^inftyf(x),e^-iomega x,dx
Como f(x)=0 para x<=0, reduzimos o integral de -infty a infty para um integral de 0 a infty:
Ff(omega) =integral0^inftye^-a x,e^-iomega x,dx

Passo 3

No integrando podemos juntar os expoentes:
e^-a x,e^-iomega x =e^-(a + iomega)x
Logo,
Ff(omega) =integral0^inftye^-(a + iomega)x,dx

Passo 4

Para Re(a)>0 esse integral impróprio converge e usamos a fórmula
integral0^inftye^-c x,dx =1c, Re(c)>0
Aqui c = a + iomega satisfaz Re(c)=a>0. Portanto,
Ff(omega) =1a + iomega

Passo 5

Concluímos que a transformada de Fourier de f(x) é a função de omega dada acima.

Resposta

Ff(omega)=1a + iomega

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