Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
\left(1+t^{2}\right) u^{\prime}+2 t u=0, \quad u(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
(1+t^{2})\,u'(t)+2t\,u(t)=0,\qquad u(0)=1,
mostrando que a equação é exata e encontrando a função real \varphi cuja diferencial dá a equação. As informações relevantes são:
  • A equação dada e a condição inicial \,u(0)=1.
  • Queremos reescrever a equação na forma diferencial exata
M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0
e encontrar \varphi(t,u) tal que \partial\varphi/\partial t=M e \partial\varphi/\partial u=N.

Passo 2

Reescrevo a equação diferencial na forma diferencial total. Começo isolando os diferenciais:
(1+t^{2})\,\frac{du}{dt}+2t\,u=0
Multiplicando por dt obtemos
2t\,u\,dt+(1+t^{2})\,du=0.
Portanto posso identificar
M(t,u)=2t\,u,\qquad N(t,u)=1+t^{2}.

Passo 3

Definição de exatidão (explicação didática): uma forma diferencial M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du é exata num domínio se existe uma função \varphi(t,u) tal que \partial\varphi/\partial t=M e \partial\varphi/\partial u=N. Um teste útil é comparar as derivadas parciais cruzadas: se \partial M/\partial u=\partial N/\partial t no domínio, a forma é exata.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}(2t\,u)=2t,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(1+t^{2})=2t.
Como \partial M/\partial u=\partial N/\partial t=2t para todos os t, a forma é exata. Logo existe \varphi(t,u) com as propriedades pedidas.

Passo 4

Agora encontro \varphi(t,u). Por definição deve valer
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u)=2t\,u.
Integro essa igualdade em relação a t, tratando u como constante durante a integração (explicação: ao integrar parcialmente em t, aparece uma função de integração que pode depender de u):
\varphi(t,u)=\int 2t\,u\,dt = t^{2}u + h(u),
onde h(u) é uma função arbitrária de u (constante em relação a t).

Passo 5

Imponho agora a outra condição \partial\varphi/\partial u=N(t,u)=1+t^{2} para determinar h(u). Calculo \partial\varphi/\partial u a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial u}=t^{2}+h'(u).
Igualando a N(t,u) obtenho
t^{2}+h'(u)=1+t^{2}\quad\Longrightarrow\quad h'(u)=1.
Integro em relação a u:
h(u)=u+C,
onde C é constante arbitrária. Posso incorporar C depois na constante da solução implícita, então tomo h(u)=u para encontrar uma primitiva particular.
Assim
\varphi(t,u)=t^{2}u+u = (1+t^{2})\,u.

Passo 6

A solução geral implícita da equação exata é dada por
\varphi(t,u)=\text{constante},
ou seja
(1+t^{2})\,u=C,
onde C é constante determinada pela condição inicial. Uso u(0)=1:
(1+0^{2})\cdot u(0)=C \quad\Longrightarrow\quad C=1.

Passo 7

Isolo u para obter a solução explícita:
u(t)=\frac{C}{1+t^{2}}=\frac{1}{1+t^{2}}.
Comentário didático final: a solução é definida para todo t\in\mathbb{R}. A exatidão nos deu diretamente uma função potencial \varphi(t,u)=(1+t^{2})u e a condição inicial fixou a constante.

Resposta

u(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}

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