Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
mostrando que a equação é exata e encontrando a função real
cuja diferencial dá a equação. As informações relevantes são:
- A equação dada e a condição inicial
. - Queremos reescrever a equação na forma diferencial exata
e encontrar
tal que
e
.
Passo 2
Reescrevo a equação diferencial na forma diferencial total. Começo isolando os diferenciais:
Multiplicando por
obtemos
Portanto posso identificar
Passo 3
Definição de exatidão (explicação didática): uma forma diferencial
é exata num domínio se existe uma função
tal que
e
. Um teste útil é comparar as derivadas parciais cruzadas: se
no domínio, a forma é exata.
Calculo as derivadas parciais:
Como
para todos os
, a forma é exata. Logo existe
com as propriedades pedidas.
Passo 4
Agora encontro
. Por definição deve valer
Integro essa igualdade em relação a
, tratando
como constante durante a integração (explicação: ao integrar parcialmente em
, aparece uma função de integração que pode depender de
):
onde
é uma função arbitrária de
(constante em relação a
).
Passo 5
Imponho agora a outra condição
para determinar
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
obtenho
Integro em relação a
:
onde
é constante arbitrária. Posso incorporar
depois na constante da solução implícita, então tomo
para encontrar uma primitiva particular.
Assim
Passo 6
A solução geral implícita da equação exata é dada por
ou seja
onde
é constante determinada pela condição inicial. Uso
:
Passo 7
Isolo
para obter a solução explícita:
Comentário didático final: a solução é definida para todo
. A exatidão nos deu diretamente uma função potencial
e a condição inicial fixou a constante.