Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
e^{t}\left(u^{\prime}+u\right)=0, \quad u(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
e^{t}\left(u^{\prime}+u\right)=0,\qquad u(0)=1.
O que o problema pede:
  • Mostrar que a equação é exata.
  • Encontrar a função real \varphi cuja existência é garantida pela exatidão (ou seja, a potencial \varphi(t,u) tal que d\varphi=0 descreve a solução).
  • Usar isso para obter a solução que satisfaz u(0)=1.
Informações relevantes dadas:
  • A equação pode ser escrita como uma relação entre t, u e u'.
  • A condição inicial é \,u(0)=1.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato clássico de equação exata
M(t,u)+N(t,u)\,u'=0,
identificando M e N. Expandindo a equação dada obtemos
e^{t}u' + e^{t}u = 0.
Comparando com M+N u'=0 escolhemos
M(t,u)=e^{t}u,\qquad N(t,u)=e^{t}.
Explicação curta: aqui M é a função que multiplica o termo sem derivada e N multiplica u'. Isso é uma forma padrão para testar exatidão.

Passo 3

Definição e verificação de exatidão: a equação M+N u'=0 é exata se existir uma função \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u)\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial u}=N(t,u).
Uma condição prática necessária (e suficiente localmente, se as funções forem suaves) é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\big(e^{t}u\big)=e^{t},
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(e^{t}\big)=e^{t}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=e^{t}, a condição de exatidão é satisfeita — a equação é exata.

Passo 4

Interpretação: por exatidão existe \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u)=e^{t}u \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial u}=N(t,u)=e^{t}.
A solução da equação diferencial será dada implicitamente por
\varphi(t,u)=\text{constante}.
Agora vamos encontrar \varphi explicitamente.

Passo 5

Encontrando \varphi: integramos \dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=e^{t}u em relação a t, tratando u como constante nessa integração (porque \partial\varphi/\partial t mantém u fixo):
\varphi(t,u)=\int e^{t}u\,dt = u\int e^{t}\,dt = u e^{t} + h(u),
onde h(u) é uma função arbitrária de u (constante de integração em relação a t). Agora usamos a outra condição \varphi_{u}=e^{t}. Calculando \varphi_{u} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial u}=e^{t} + h'(u).
Igualando a N(t,u)=e^{t} obtemos
e^{t}+h'(u)=e^{t}\quad\Rightarrow\quad h'(u)=0.
Portanto h(u) é constante, digamos C. Assim a função potencial encontrada é
\varphi(t,u)=u e^{t} + C.

Passo 6

Equação implícita da solução: como \varphi(t,u) é constante ao longo das soluções, temos
u e^{t}=K,
onde K é uma constante (absorvendo C). Para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial, aplicamos u(0)=1:
u(0)e^{0}=K \quad\Rightarrow\quad 1\cdot 1=K \quad\Rightarrow\quad K=1.
Logo a solução explícita é
u(t)=e^{-t}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): calcule u'+u para u(t)=e^{-t}:
u'(t)=-e^{-t},\qquad u'(t)+u(t)=-e^{-t}+e^{-t}=0,
e multiplicando por e^{t} recupera-se a equação original. A condição inicial também é satisfeita. Tudo confere.

Resposta

u(t)=e^{-t}

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