Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que o problema pede:
- Mostrar que a equação é exata.
- Encontrar a função real
cuja existência é garantida pela exatidão (ou seja, a potencial tal que descreve a solução). - Usar isso para obter a solução que satisfaz
.
Informações relevantes dadas:
- A equação pode ser escrita como uma relação entre
, e . - A condição inicial é
.
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato clássico de equação exata
identificando
e
. Expandindo a equação dada obtemos
Comparando com
escolhemos
Explicação curta: aqui
é a função que multiplica o termo sem derivada e
multiplica
. Isso é uma forma padrão para testar exatidão.
Passo 3
Definição e verificação de exatidão: a equação
é exata se existir uma função
tal que
Uma condição prática necessária (e suficiente localmente, se as funções forem suaves) é
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita — a equação é exata.
Passo 4
Interpretação: por exatidão existe
tal que
A solução da equação diferencial será dada implicitamente por
Agora vamos encontrar
explicitamente.
Passo 5
Encontrando
: integramos
em relação a
, tratando
como constante nessa integração (porque
mantém
fixo):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Agora usamos a outra condição
. Calculando
a partir da expressão obtida:
Igualando a
obtemos
Portanto
é constante, digamos
. Assim a função potencial encontrada é
Passo 6
Equação implícita da solução: como
é constante ao longo das soluções, temos
onde
é uma constante (absorvendo
). Para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial, aplicamos
:
Logo a solução explícita é
Passo 7
Verificação rápida (checagem): calcule
para
:
e multiplicando por
recupera-se a equação original. A condição inicial também é satisfeita. Tudo confere.