Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede:
- mostrar que a equação, possivelmente após multiplicar por um fator integrante, pode ser vista como uma equação exata;
- encontrar a função real
cuja diferencial total gera a equação exata; - resolver o PVI e apresentar
que satisfaz a condição .
Passo 2
Conceito útil (explicado de forma simples):
Uma equação diferencial de primeira ordem escrita na forma
Uma equação diferencial de primeira ordem escrita na forma
é dita exata se existe uma função
tal que
A condição prática de exatidão é
em uma região onde as derivadas existem e são contínuas.
Se a equação não for exata, às vezes existe um fator integrante (ou
) que, multiplicando a equação, a torna exata. Para um fator integrante que depende só de
, uma forma direta de encontrá-lo é observar que
Se a equação não for exata, às vezes existe um fator integrante
deve depender apenas de
; então
.
Passo 3
Escrevendo a equação dada em forma diferencial, multiplicando por
:
Portanto podemos tomar
Passo 4
Verificar se já é exata:
logo
. A equação não é exata em sua forma original.
Calcular agora a quantidade
Calcular agora a quantidade
que depende só de
. Isso indica que existe um fator integrante
com
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtém-se
Aqui os novos coeficientes são
Verificar a exatidão:
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Procurar
tal que
Integramos primeiro
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Diferenciando em
e comparando com
:
Daí segue
, logo
. Podemos escolher a constante
absorvida depois, então uma função potencial útil é
Passo 7
As soluções (curvas de nível) da equação exata satisfazem
ou seja
Resolvendo para
,
Impor a condição inicial
. Substituindo
:
Portanto a solução do PVI é
Passo 8
Checagem rápida (para ficar tranquilo): calcular
com
. Usando regra do produto e da cadeia obtém-se
, ou seja, a equação é satisfeita. A condição
também é satisfeita.