Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
u^{\prime}+t u=\exp \left(-t^{2} / 2\right), \quad u(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
u^{\prime}+t\,u=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right),\qquad u(1)=0.
O que se pede:
  • mostrar que a equação, possivelmente após multiplicar por um fator integrante, pode ser vista como uma equação exata;
  • encontrar a função real \varphi(t,u) cuja diferencial total gera a equação exata;
  • resolver o PVI e apresentar u(t) que satisfaz a condição u(1)=0.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma simples):
Uma equação diferencial de primeira ordem escrita na forma
M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0
é dita exata se existe uma função \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=M(t,u),\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial u}=N(t,u).
A condição prática de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}
em uma região onde as derivadas existem e são contínuas.
Se a equação não for exata, às vezes existe um fator integrante \mu(t) (ou \mu(u)) que, multiplicando a equação, a torna exata. Para um fator integrante que depende só de t, uma forma direta de encontrá-lo é observar que
\frac{1}{N}\Big(\frac{\partial M}{\partial u}-\frac{\partial N}{\partial t}\Big)
deve depender apenas de t; então \mu(t)=\exp\!\big(\int \text{essa função}\,dt\big)çã.

Passo 3

Escrevendo a equação dada em forma diferencial, multiplicando por dt:
du + t u\,dt - \exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)dt=0.
Portanto podemos tomar
M(t,u)=t u-\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right),\qquad N(t,u)=1.

Passo 4

Verificar se já é exata:
\frac{\partial M}{\partial u}=t,\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=0,
logo \partial M/\partial u\neq\partial N/\partial t. A equação não é exata em sua forma original.
Calcular agora a quantidade
\frac{1}{N}\Big(\frac{\partial M}{\partial u}-\frac{\partial N}{\partial t}\Big)=t,
que depende só de t. Isso indica que existe um fator integrante \mu(t) com
\mu(t)=\exp\!\left(\int t\,dt\right)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right).

Passo 5

Multiplicando a equação original por \mu(t)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right) obtém-se
\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)du + \bigg(t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u - 1\bigg)dt=0.
Aqui os novos coeficientes são
\widetilde{M}(t,u)=t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u - 1,\qquad \widetilde{N}(t,u)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right).
Verificar a exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial u}=t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right),\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial t}=t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right).
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 6

Procurar \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\widetilde{M}(t,u)=t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u - 1, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial u}=\widetilde{N}(t,u)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right).
Integramos primeiro \partial \varphi/\partial u em relação a u:
\varphi(t,u)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u + h(t),
onde h(t) é uma função a determinar. Diferenciando em t e comparando com \widetilde{M}:
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u + h'(t)=t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u - 1.
Daí segue h'(t)=-1, logo h(t)=-t+C. Podemos escolher a constante C absorvida depois, então uma função potencial útil é
\varphi(t,u)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u - t.

Passo 7

As soluções (curvas de nível) da equação exata satisfazem
\varphi(t,u)=\text{const},
ou seja
\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u - t = C.
Resolvendo para u,
u(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)\big(t+C\big).
Impor a condição inicial u(1)=0. Substituindo t=1:
0=\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)\big(1+C\big)\quad\Rightarrow\quad C=-1.
Portanto a solução do PVI é
u(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)(t-1).

Passo 8

Checagem rápida (para ficar tranquilo): calcular u' + t u com u(t)=(t-1)e^{-t^{2}/2}. Usando regra do produto e da cadeia obtém-se u'+tu=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right), ou seja, a equação é satisfeita. A condição u(1)=0 também é satisfeita.

Resposta

u(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)(t-1)

Exercícios relacionados