Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido:
- Mostrar que a equação (após eventual manipulação) pode ser escrita como uma equação exata (ou tornada exata por um fator integrante);
- Encontrar a função potencial
cuja diferencial anula a equação exata; - Determinar a solução
que satisfaz a condição inicial .
Informações fornecidas:
- A equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente de
igual a e termo não-homogêneo . - Condição inicial
.
Passo 2
Transformar a equação em forma diferencial para testar exatidão. Escrevemos tudo como uma forma diferencial
. Reescrevendo a equação original:
Multiplicando por
e isolando os termos, obtemos a forma
Portanto podemos identificar
Passo 3
Definição e teste de exatidão (mini-aula): uma equação diferencial na forma
é exata se existir uma função
tal que
Uma condição prática necessária (e suficiente localmente) é
No nosso caso calculemos:
Como
, a forma não é exata inicialmente.
Passo 4
Fator integrante dependente só de
(mini-aula): se
é função apenas de
, então existe um fator integrante
que torna a forma exata quando multiplicamos por
.
Calculemos a quantidade:
que é, de facto, função só de
(constante). Logo um fator integrante é
Passo 5
Multiplicar a forma por
. Obtemos a nova forma
com
Verifiquemos exatidão agora:
portanto
e a forma é exata após multiplicação por
.
Passo 6
Encontrar a função potencial
(mini-aula prática): para a forma exata temos
Integramos a primeira relação em
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração, mas pode depender de
).
Agora usamos a segunda relação para determinar
. Calculando
da expressão obtida:
Isso deve ser igual a
. Portanto
Logo
é constante; podemos incorporá-la em uma constante global
. Assim podemos tomar
Passo 7
A solução geral da forma exata é dada por
constante, isto é
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Portanto a relação entre
e
é
Isolando
,
Passo 8
Verificação rápida (confirmação): derivando
,
Logo
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial e, por construção, satisfaz a condição inicial.