Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
u^{\prime}+2 u=2 e^{-2 t}, \quad u(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
u'(t)+2\,u(t)=2e^{-2t},\qquad u(0)=2.
O que é pedido:
  • Mostrar que a equação (após eventual manipulação) pode ser escrita como uma equação exata (ou tornada exata por um fator integrante);
  • Encontrar a função potencial \varphi(t,u) cuja diferencial anula a equação exata;
  • Determinar a solução u(t) que satisfaz a condição inicial u(0)=2.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente de u igual a 2 e termo não-homogêneo 2e^{-2t}.
  • Condição inicial u(0)=2.

Passo 2

Transformar a equação em forma diferencial para testar exatidão. Escrevemos tudo como uma forma diferencial M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0. Reescrevendo a equação original:
u'+2u-2e^{-2t}=0.
Multiplicando por dt e isolando os termos, obtemos a forma
\bigl(2e^{-2t}-2u\bigr)\,dt + (-1)\,du = 0.
Portanto podemos identificar
M(t,u)=2e^{-2t}-2u,\qquad N(t,u)=-1.

Passo 3

Definição e teste de exatidão (mini-aula): uma equação diferencial na forma M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0 é exata se existir uma função \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=M(t,u),\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial u}=N(t,u).
Uma condição prática necessária (e suficiente localmente) é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
No nosso caso calculemos:
\frac{\partial M}{\partial u}=-2,\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=0.
Como -2\neq0, a forma não é exata inicialmente.

Passo 4

Fator integrante dependente só de t (mini-aula): se
\frac{\frac{\partial M}{\partial u}-\frac{\partial N}{\partial t}}{N}
é função apenas de t, então existe um fator integrante \mu(t)=\exp\!\bigl(\int \text{essa função}\,dt\bigr)çã que torna a forma exata quando multiplicamos por \mu(t).
Calculemos a quantidade:
\frac{\frac{\partial M}{\partial u}-\frac{\partial N}{\partial t}}{N} =\frac{-2-0}{-1}=2,
que é, de facto, função só de t (constante). Logo um fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int 2\,dt\Bigr)=e^{2t}.

Passo 5

Multiplicar a forma por \mu(t)=e^{2t}. Obtemos a nova forma
\tilde M(t,u)\,dt + \tilde N(t,u)\,du=0,
com
\tilde M=e^{2t}(2e^{-2t}-2u)=2-2u e^{2t},\qquad \tilde N=e^{2t}\cdot(-1)=-e^{2t}.
Verifiquemos exatidão agora:
\frac{\partial \tilde M}{\partial u}=-2e^{2t},\qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial t}=-2e^{2t},
portanto \frac{\partial \tilde M}{\partial u}=\frac{\partial \tilde N}{\partial t} e a forma é exata após multiplicação por \mu.

Passo 6

Encontrar a função potencial \varphi(t,u) (mini-aula prática): para a forma exata temos
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\tilde M(t,u)=2-2u e^{2t}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial u}=\tilde N(t,u)=-e^{2t}.
Integramos a primeira relação em t, tratando u como constante:
\varphi(t,u)=\int\bigl(2-2u e^{2t}\bigr)\,dt = 2t - u e^{2t} + h(u),
onde h(u) é uma função arbitrária de u (a “constante” de integração, mas pode depender de u).
Agora usamos a segunda relação para determinar h(u). Calculando \partial \varphi/\partial u da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial u} = -e^{2t} + h'(u).
Isso deve ser igual a \tilde N(t,u)=-e^{2t}. Portanto
-e^{2t}+h'(u)=-e^{2t}\quad\Rightarrow\quad h'(u)=0.
Logo h(u) é constante; podemos incorporá-la em uma constante global C. Assim podemos tomar
\varphi(t,u)=2t - u e^{2t} + C.

Passo 7

A solução geral da forma exata é dada por \varphi(t,u)= constante, isto é
2t - u e^{2t} = C.
Agora aplicamos a condição inicial u(0)=2. Substituindo t=0 e u=2:
2\cdot 0 - 2\cdot e^{0} = C \quad\Rightarrow\quad C=-2.
Portanto a relação entre u e t é
2t - u e^{2t} = -2.
Isolando u,
u e^{2t} = 2t+2 \quad\Rightarrow\quad u(t)=e^{-2t}\bigl(2t+2\bigr)=2e^{-2t}\bigl(t+1\bigr).

Passo 8

Verificação rápida (confirmação): derivando u(t)=e^{-2t}(2t+2),
u'(t)=2e^{-2t}+(2t+2)(-2)e^{-2t}=(-4t-2)e^{-2t}.
Logo
u'(t)+2u(t)=(-4t-2)e^{-2t}+2(2t+2)e^{-2t}=2e^{-2t},
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial e, por construção, satisfaz a condição inicial.

Resposta

u(t)=2e^{-2t}\bigl(t+1\bigr)

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