Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real
;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
As informações relevantes são:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear não homogênea.
- Condição inicial:
. - Devemos resolver para
.
Passo 2
Escrevendo a equação em forma diferencial total, multiplico ambos os lados por
:
Colocando na forma
, obtemos
Para checar se é exata, calculo as derivadas parciais
Como
, a equação original NÃO é exata.
Passo 3
Para tornar a equação exata usamos o método do fator integrante. Primeiro escrevo a equação na forma padrão linear
Comparando com a original
, identifica-se
O fator integrante
é definido por
Calculo
:
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Obtenho
A propriedade do fator integrante garante que o membro esquerdo é derivada de um produto; verifico explicitamente:
Portanto a equação fica
Se preferir ver em forma exata
, após multiplicar por
temos
e
logo a equação multiplicada é exata (as derivadas parciais coincidem).
Passo 5
Agora procuro uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Derivo essa expressão em
:
Comparando com
obtemos
logo
Integro
:
Assim a função potencial é, up to constant,
Passo 6
Como a equação exata implica
constante ao longo das soluções, temos
onde
é constante. Determino
usando a condição inicial
:
Logo
Isolando
,
Passo 7
Breve verificação alternativa (método direto do fator integrante): a partir de
integro em
:
o que leva à mesma solução
e impondo
obtém-se
, portanto
. Tudo consistente.