Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
u^{\prime}-2 u=4, \quad u(0)=0, t>0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
u'(t)-2u(t)=4,\qquad u(0)=0,\qquad t>0.
As informações relevantes são:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear não homogênea.
  • Condição inicial: u(0)=0.
  • Devemos resolver para t>0.

Passo 2

Escrevendo a equação em forma diferencial total, multiplico ambos os lados por dt:
du-2u\,dt-4\,dt=0.
Colocando na forma M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0, obtemos
M(t,u)=-2u-4,\qquad N(t,u)=1.
Para checar se é exata, calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial u}=-2,\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=0.
Como \frac{\partial M}{\partial u}\neq\frac{\partial N}{\partial t}, a equação original NÃO é exata.

Passo 3

Para tornar a equação exata usamos o método do fator integrante. Primeiro escrevo a equação na forma padrão linear
u'(t)+P(t)u(t)=Q(t).
Comparando com a original \,u'-2u=4, identifica-se
P(t)=-2,\qquad Q(t)=4.
O fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Calculo \mu:
\mu(t)=\exp\!\left(\int -2\,dt\right)=\exp(-2t)=e^{-2t}.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(t)=e^{-2t}. Obtenho
e^{-2t}u'-2e^{-2t}u=4e^{-2t}.
A propriedade do fator integrante garante que o membro esquerdo é derivada de um produto; verifico explicitamente:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}u(t)\bigr)=e^{-2t}u'(t)-2e^{-2t}u(t).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}u(t)\bigr)=4e^{-2t}.
Se preferir ver em forma exata M\,dt+N\,du=0, após multiplicar por e^{-2t} temos
M(t,u)=-2u e^{-2t}-4e^{-2t},\qquad N(t,u)=e^{-2t},
e
\frac{\partial M}{\partial u}=-2e^{-2t},\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=-2e^{-2t},
logo a equação multiplicada é exata (as derivadas parciais coincidem).

Passo 5

Agora procuro uma função potencial \varphi(t,u) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=M(t,u)=-2u e^{-2t}-4e^{-2t}, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial u}=N(t,u)=e^{-2t}.
Integro \frac{\partial\varphi}{\partial u}=e^{-2t} em relação a u:
\varphi(t,u)=\int e^{-2t}\,du=e^{-2t}u + h(t),
onde h(t) é uma função a determinar. Derivo essa expressão em t:
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=-2e^{-2t}u + h'(t).
Comparando com M(t,u)=-2u e^{-2t}-4e^{-2t} obtemos
-2e^{-2t}u + h'(t) = -2e^{-2t}u -4e^{-2t},
logo
h'(t)=-4e^{-2t}.
Integro h'(t):
h(t)=\int -4e^{-2t}\,dt=-4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right)=2e^{-2t}+C.
Assim a função potencial é, up to constant,
\varphi(t,u)=e^{-2t}u + 2e^{-2t} + C = e^{-2t}\bigl(u+2\bigr)+C.

Passo 6

Como a equação exata implica \varphi(t,u)= constante ao longo das soluções, temos
e^{-2t}\bigl(u(t)+2\bigr)=K,
onde K é constante. Determino K usando a condição inicial u(0)=0:
e^{0}\bigl(0+2\bigr)=K\quad\Rightarrow\quad K=2.
Logo
e^{-2t}\bigl(u(t)+2\bigr)=2.
Isolando u(t),
u(t)+2=2e^{2t}\qquad\Rightarrow\qquad u(t)=2e^{2t}-2=2\bigl(e^{2t}-1\bigr).

Passo 7

Breve verificação alternativa (método direto do fator integrante): a partir de
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}u(t)\bigr)=4e^{-2t},
integro em t:
e^{-2t}u(t)=\int 4e^{-2t}\,dt = -2e^{-2t}+C,
o que leva à mesma solução u(t)=-2+Ce^{2t} e impondo u(0)=0 obtém-se C=2, portanto u(t)=2(e^{2t}-1). Tudo consistente.

Resposta

u(t)=2\bigl(e^{2t}-1\bigr)

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