Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=1 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}+2 x_{4}=2 x_{1}-12 x_{2}-11 x_{3}-16 x_{4}=5

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema linear de três equações e quatro incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}). O objetivo é usar eliminação de Gauss–Jordan, ou seja, montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha até chegarmos à forma reduzida, para identificar as soluções ou detectar inconsistência.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada correspondente ao sistema
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & -4 & 1\\\\ 1 & 3 & 7 & 2 & 2\\\\ 1 & -12 & -11 & -16 & 5 \end{array} \right].

Passo 3

Eliminamos x_{1} nas linhas 2 e 3 usando
L_{2}\leftarrow L_{2}-L_{1},\quad L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{1}.
Isso leva a
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & -4 & 1\\\\ 0 & 5 & 6 & 6 & 1\\\\ 0 & -10 & -12 & -12 & 4 \end{array} \right].

Passo 4

Normalizamos o pivô da segunda linha dividindo por 5:
L_{2}\leftarrow \tfrac{1}{5}\,L_{2},
ficando
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & -4 & 1\\\\ 0 & 1 & \tfrac{6}{5} & \tfrac{6}{5} & \tfrac{1}{5}\\\\ 0 & -10 & -12 & -12 & 4 \end{array} \right].

Passo 5

Eliminamos x_{2} na terceira linha por
L_{3}\leftarrow L_{3} + 10\,L_{2},
o que produz
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & -4 & 1\\\\ 0 & 1 & \tfrac{6}{5} & \tfrac{6}{5} & \tfrac{1}{5}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right].
A última linha dá a equação 0 = 6, uma contradição.

Passo 6

Como obtivemos uma equação impossível, concluímos que o sistema é inconsistente e não possui solução.

Resposta

O sistema não tem solução.

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