Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
5 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}=0 -2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação de Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} 5x_{1}-2x_{2}+6x_{3}=0,\\\\ -2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=1. \end{cases}
O conteúdo aqui é sistema de equações lineares e matriz aumentada; vamos usar operações elementares para chegar à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 6 & 0 \\[6pt] -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right].
Como primeiro pivô, usamos a_{11}=5. Dividimos a primeira linha por 5:
R_{1}\leftarrow \tfrac{1}{5}R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{6}{5} & 0 \\[6pt] -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Eliminamos x_{1} da segunda equação somando 2 vezes a linha 1 à linha 2:
R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{6}{5} & 0 \\[6pt] 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{27}{5} & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos como pivô a_{22}=\tfrac{1}{5}. Multiplicamos a linha 2 por 5:
R_{2}\leftarrow 5\,R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{6}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 27 & 5 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminamos x_{2} da primeira equação somando \tfrac{2}{5} vezes a linha 2 à linha 1:
R_{1}\leftarrow R_{1} + \tfrac{2}{5}R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 12 & 2 \\[6pt] 0 & 1 & 27 & 5 \end{array}\right].
Agora temos a forma reduzida: \;x_{1} +12x_{3}=2 \;x_{2} +27x_{3}=5.]

Passo 6

Perceba que x_{3} é livre. Chamamos x_{3}=t, com t\in\mathbb{R}. Então
x_{1}=2-12t,\quad x_{2}=5-27t,\quad x_{3}=t.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = (2,5,0) + t\,(-12,-27,1), \quad t\in\mathbb{R}.

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