Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
w+2 x-y=4
x-y=3
w+3 x-2 y=7
2 u+4 v+w+7 x =7

Passo 1

Temos um sistema de quatro equações lineares nas cinco incógnitas u,v,w,x,y, e vamos resolvê-lo por eliminação de Gauss–Jordan, isto é, reduzindo a matriz aumentada ao forma escalonada reduzida (RREF) para ler as soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada na ordem (u,v,w,x,y):
\left[\begin{array}{ccccc|c} 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & 7\\\\ 2 & 4 & 1 & 7 & 0 & 7 \end{array}\right]

Passo 3

Escolhemos como primeiro pivô o 1 da linha 2 na coluna x. Usamos operações do tipo “linha i ← linha i k·(linha 2)” para zerar as outras entradas na coluna x:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_2
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_2
  • R_4 \leftarrow R_4 - 7\,R_2 Isso leva a
\left[\begin{array}{ccccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2\\\\ 2 & 4 & 1 & 0 & 7 & -14 \end{array}\right].

Passo 4

Observamos que agora R_1 e R_3 coincidem. Subtraindo R_3 \leftarrow R_3 - R_1 obtemos uma linha nula, indicando dependência entre equações. Podemos desprezar essa linha e ficar com três linhas não nulas.

Passo 5

Usamos o pivô 1 de R_1 na coluna w para zerar a entrada correspondente em R_4: R_4 \leftarrow R_4 - R_1. Isso dá
\left[\begin{array}{ccccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3\\\\ 2 & 4 & 0 & 0 & 6 & -12 \end{array}\right].

Passo 6

Agora escolhemos como pivô o 2 de R_3 na coluna u. Dividimos R_3 por 2, e já alcançamos a forma escalonada reduzida:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 0 & 3 & -6\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right].

Passo 7

Lemos as equações finais:
\begin{cases} u + 2v + 3y = -6,\\\ w + y = -2,\\\ x - y = 3. \end{cases}
Aqui v e y são livres. Chamando v = s e y = t, obtemos
\begin{aligned} u &= -6 - 2s - 3t,\\\ v &= s,\\\ w &= -2 - t,\\\ x &= 3 + t,\\\ y &= t, \end{aligned}
com s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral é
(u,v,w,x,y) = \bigl(-6 -2s -3t,\;s,\;-2 - t,\;3 + t,\;t\bigr),
onde s,t\in\mathbb{R}.

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