Resolva cada sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}2 x+3 y-z+4 t=0 \\\\ 3 x-y=1-t \\\\ 3 x-4 y+z-t=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de eliminação de Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} 2x + 3y - z + 4t = 0,\\\\ 3x - y + t = 1,\\\\ 3x - 4y + z - t = 2, \end{cases}
que envolve as variáveis x,y,z,t. Vamos montar a matriz aumentada, reduzir a forma escalonada reduzida (RREF) e ler a solução geral, onde aparecerá uma variável livre.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema, temos
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & -1 & 4 & 0\\\\ 3 & -1 & 0 & 1 & 1\\\\ 3 & -4 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Escolhemos pivô em (1,1) trocando a primeira e a segunda linha, depois normalizamos e zeramos abaixo:
Aplicamos
R_1\leftrightarrow R_2,\quad R_1:=\tfrac13R_1,\quad R_2:=R_2-2R_1,\quad R_3:=R_3-3R_1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -\tfrac13 & 0 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ 0 & \tfrac{11}{3} & -1 & \tfrac{10}{3} & -\tfrac23\\\\ 0 & -3 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora pivô em (2,2): normalizamos e zeramos acima e abaixo usando
R_2:=\tfrac{3}{11}R_2,\quad R_1:=R_1+\tfrac13R_2,\quad R_3:=R_3+3R_2.
Obtemos
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{11} & \tfrac{7}{11} & \tfrac{3}{11}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{11} & \tfrac{10}{11}& -\tfrac{2}{11}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{2}{11} & \tfrac{8}{11} & \tfrac{5}{11} \end{array}\right].

Passo 5

Pivô em (3,3): normalizamos e zeramos acima com
R_3:=\tfrac{11}{2}R_3,\quad R_1:=R_1+\tfrac{1}{11}R_3,\quad R_2:=R_2+\tfrac{3}{11}R_3.
Isso dá a forma escalonada reduzida
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & \tfrac52 \end{array}\right].

Passo 6

Da RREF lemos as equações
\begin{cases} x + t = \tfrac12,\\\ y + 2t = \tfrac12,\\\ z + 4t = \tfrac52, \end{cases}
onde t fica livre. Logo a solução geral é
x = \tfrac12 - t,\quad y = \tfrac12 - 2t,\quad z = \tfrac52 - 4t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z,t) = \bigl(\tfrac12 - t,\;\tfrac12 - 2t,\;\tfrac52 - 4t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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