Resolva cada sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & -2 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo
\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
e pede a solução pelo método de Gauss–Jordan, ou seja, reduzir a matriz ampliada à forma reduzida por linhas.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada e escolhemos o pivô na primeira linha e primeira coluna:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 0\\\\ -1 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array}\right].
Vamos zerar os elementos abaixo do pivô em (1,1).

Passo 3

Aplicamos
R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1},
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 0\\\\ 0 & 10 & 10 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Agora zeramos o elemento em (3,2) com
R_{3}\leftarrow R_{3}+10\,R_{2},
o que dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Temos então duas equações não-triviais:
da segunda linha,
-\,x_{2}-x_{3}=0,
e da primeira linha,
x_{1}-3x_{2}-2x_{3}=0.
A terceira linha é 0=0, indicando que o posto é 2 e temos uma variável livre.

Passo 6

Da segunda equação vem
x_{2}=-\,x_{3}.
Substituindo em x_{1}-3x_{2}-2x_{3}=0 obtemos
x_{1}-3(-x_{3})-2x_{3}=x_{1}+3x_{3}-2x_{3}=x_{1}+x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-\,x_{3}.

Passo 7

Escolhendo x_{3}=t como parâmetro, t\in\mathbb{R}, ficamos com
x_{1}=-t,\quad x_{2}=-t,\quad x_{3}=t.
Em forma vetorial,
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados