Resolva cada sistema de congruências abaixo:
\begin{cases}x \equiv 1 & (\bmod 4) \\\ x \equiv 2 & (\bmod 5)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de congruências e pede todas as soluções x\) que satisfazem ambas: \[\begin{cases} x \equiv 1 \pmod{4}\\[4pt] x \equiv 2 \pmod{5} \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • As congruências são \,x\equiv1\pmod{4}\,\] e \(\,x\equiv2\pmod{5}\,.
  • As modulações envolvidas são 4 e 5.
  • A pergunta é: quais são todos os inteiros x que satisfazem simultaneamente essas duas condições? (Normalmente iremos expressar a solução como uma congruência x\equiv a \pmod{m}.)]

Passo 2

Vamos partir da primeira congruência e escrever a forma geral de x que ela impõe. A congruência
x \equiv 1 \pmod{4}
significa que x difere de 1 por um múltiplo de 4. Portanto podemos escrever
x = 1 + 4k
onde k é um inteiro arbitrário. Aqui k é a variável inteira que conta quantos passos de tamanho 4 a partir de 1 nós damos para gerar todos os x que satisfazem a primeira congruência.

Passo 3

Agora substituímos x=1+4k na segunda congruência para impor também essa condição:
1 + 4k \equiv 2 \pmod{5}.
Subtraindo 1 dos dois lados obtemos uma congruência mais simples em k:
4k \equiv 1 \pmod{5}.
Então precisamos resolver essa congruência linear em k: encontrar inteiros k tais que 4k-1 seja múltiplo de 5.

Passo 4

Para resolver \,4k \equiv 1 \pmod{5}\, usamos o conceito de inverso multiplicativo módulo 5. Se existe um número u tal que 4u \equiv 1 \pmod{5}, então multiplicando a congruência por u obtemos k \equiv u \pmod{5}.
Podemos encontrar u por tentativa (os números são pequenos):
4\cdot1\equiv4,\quad 4\cdot2\equiv3,\quad 4\cdot3\equiv2,\quad 4\cdot4\equiv1 \pmod{5}.
Logo u=4 é o inverso de 4 módulo 5. (Também se pode ver com o algoritmo de Euclides: 1=5-1\cdot4 implica -1\cdot4\equiv1\pmod{5}, e -1\equiv4\pmod{5}.)
Portanto de \,4k\equiv1\pmod{5}\, obtemos
k \equiv 4 \pmod{5}.

Passo 5

A congruência k\equiv4\pmod{5} significa que existem inteiros t tais que
k = 4 + 5t.
Substituindo esse k na expressão x=1+4k obtemos
x = 1 + 4(4 + 5t) = 1 + 16 + 20t = 17 + 20t.
Portanto todas as soluções x do sistema são os números da forma x = 17 + 20t com t\in\mathbb{Z}.
Aqui 20 aparece porque é o mínimo múltiplo comum de 4 e 5 (ou seja, \operatorname{lcm}(4,5)=20), então as soluções se repetem a cada 20 unidades. Como 4 e 5 são coprimos, a solução é única módulo 20.

Passo 6

Vamos checar uma solução concreta para ter certeza: tomar t=0 x=17.
17\equiv1\pmod{4}\quad\text{(pois }17-1=16\text{ é múltiplo de }4\text{)}éú
17\equiv2\pmod{5}\quad\text{(pois }17-2=15\text{ é múltiplo de }5\text{)}éú
Funciona. Assim a solução geral está correta.

Passo 7

Resumo do procedimento (receita prática para a prova):
  • Expresse uma congruência na forma x=a+mn (aqui x=1+4k).
  • Substitua na outra congruência e reduza para uma congruência simples em k.
  • Resolva essa congruência usando inverso modular (por tentativa ou Algoritmo de Euclides).
  • Volte à expressão de x para obter a solução geral e escreva como congruência modulo \operatorname{lcm} dos módulos (aqui modulo 20).

Resposta

x \equiv 17 \pmod{20}

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