teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(\cos x+x \cos t) d t+(\operatorname{sen} t-t \operatorname{sen} x) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
(\cos x + x\cos t)\,dt + (\sin t - t\sin x)\,dx = 0
e pede: testar se a equação é exata e, se for exata, resolvê-la.
Informações importantes fornecidas:
M(t,x)=\cos x + x\cos t\quad\text{é o coeficiente de }dt,é
N(t,x)=\sin t - t\sin x\quad\text{é o coeficiente de }dx.é
Objetivos explícitos: (1) verificar exatidão; (2) encontrar a solução implícita quando exata.

Passo 2

Lembra do teste de exatidão: uma forma diferencial M(t,x)\,dt + N(t,x)\,dx é exata se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja se
\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial t}.
Vou calcular cada derivada parcial passo a passo usando M e N definidos no passo anterior.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial M}{\partial x}. Temos
M(t,x)=\cos x + x\cos t.
Derivando em relação a x, tratando t como constante:
\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\cos t).
A derivada de \cos x em relação a x é -\sin x. A expressão x\cos t é produto de x por uma constante \cos t, então sua derivada em x é \cos t. Portanto
\frac{\partial M}{\partial x} = -\sin x + \cos t.

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{\partial N}{\partial t}. Temos
N(t,x)=\sin t - t\sin x.
Derivando em relação a t, tratando x como constante:
\frac{\partial N}{\partial t} = \frac{d}{dt}(\sin t) - \frac{d}{dt}(t\sin x).
A derivada de \sin t em relação a t é \cos t. Na segunda parcela, \sin x é constante diante de t, então \frac{d}{dt}(t\sin x)=\sin x. Assim
\frac{\partial N}{\partial t} = \cos t - \sin x.

Passo 5

Compare as duas derivadas parciais obtidas:
\frac{\partial M}{\partial x} = -\sin x + \cos t
e
\frac{\partial N}{\partial t} = \cos t - \sin x.
Como são iguais (ordem somada não importa), concluímos que
\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial t},
ou seja, a forma dada é exata. Boa notícia! Significa que existe uma função potencial \Phi(t,x) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = M(t,x),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial x} = N(t,x).

Passo 6

Para encontrar \Phi(t,x) integralizamos M em relação a t. Escrevo:
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M(t,x)=\cos x + x\cos t.
Integral em t:
\Phi(t,x)=\int (\cos x + x\cos t)\,dt.
Tratando x como constante durante a integração em t: \cos x é constante em t, logo \int \cos x\,dt = t\cos x. Para \int x\cos t\,dt, x é constante, então \int x\cos t\,dt = x\int \cos t\,dt = x\sin t. Acrescentamos uma função arbitrária de x, digamos g(x), porque a integração em t pode deixar uma constante que depende de x. Assim
\Phi(t,x) = t\cos x + x\sin t + g(x).

Passo 7

Agora usamos a outra condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=N(t,x) para determinar g(x). Calculemos \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(t\cos x\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(x\sin t\big) + g'(x).
Detalhando: \frac{\partial}{\partial x}(t\cos x)=t\cdot(-\sin x)=-t\sin x (pois t é tratado como constante), e \frac{\partial}{\partial x}(x\sin t)=\sin t (pois \sin t é constante em relação a x). Então
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -t\sin x + \sin t + g'(x).
Mas devemos ter \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=N(t,x)=\sin t - t\sin x. Igualando:
-t\sin x + \sin t + g'(x) = \sin t - t\sin x.
Subtraindo -t\sin x + \sin t de ambos os lados, obtemos
g'(x)=0.
Logo g(x) é uma constante: g(x)=C, com C constante real.

Passo 8

Concluímos que a função potencial \Phi pode ser tomada como
\Phi(t,x)=t\cos x + x\sin t + C.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é obter \Phi(t,x)=\text{constante}. Eliminando a constante arbitrária de integração, a solução implícita mais simples é
t\cos x + x\sin t = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

t\cos x + x\sin t = K

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