teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(\cos x+x \cos t) d t+(\operatorname{sen} t-t \operatorname{sen} x) d x=0
(\cos x+x \cos t) d t+(\operatorname{sen} t-t \operatorname{sen} x) d x=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
e pede: testar se a equação é exata e, se for exata, resolvê-la.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
Objetivos explícitos: (1) verificar exatidão; (2) encontrar a solução implícita quando exata.
Passo 2
Lembra do teste de exatidão: uma forma diferencial
é exata se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, ou seja se
Vou calcular cada derivada parcial passo a passo usando
e
definidos no passo anterior.
Passo 3
Calculemos
. Temos
Derivando em relação a
, tratando
como constante:
A derivada de
em relação a
é
. A expressão
é produto de
por uma constante
, então sua derivada em
é
. Portanto
Passo 4
Agora calculemos
. Temos
Derivando em relação a
, tratando
como constante:
A derivada de
em relação a
é
. Na segunda parcela,
é constante diante de
, então
. Assim
Passo 5
Compare as duas derivadas parciais obtidas:
e
Como são iguais (ordem somada não importa), concluímos que
ou seja, a forma dada é exata. Boa notícia! Significa que existe uma função potencial
tal que
Passo 6
Para encontrar
integralizamos
em relação a
. Escrevo:
Integral em
:
Tratando
como constante durante a integração em
:
é constante em
, logo
. Para
,
é constante, então
. Acrescentamos uma função arbitrária de
, digamos
, porque a integração em
pode deixar uma constante que depende de
. Assim
Passo 7
Agora usamos a outra condição
para determinar
. Calculemos
a partir da expressão encontrada:
Detalhando:
(pois
é tratado como constante), e
(pois
é constante em relação a
). Então
Mas devemos ter
. Igualando:
Subtraindo
de ambos os lados, obtemos
Logo
é uma constante:
, com
constante real.
Passo 8
Concluímos que a função potencial
pode ser tomada como
A solução geral implícita da equação diferencial exata é obter
. Eliminando a constante arbitrária de integração, a solução implícita mais simples é
onde
é constante arbitrária.