\begin{cases}x \equiv 2 & (\bmod 3) \\\ x \equiv 4 & (\bmod 5) \\\ x \equiv 6 & (\bmod 7)\end{cases}
Passo 1
Temos o sistema de congruências abaixo e a tarefa é encontrar todos os inteiros x\) que satisfazem simultaneamente as três congruências:
\[\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{3},\\[4pt] x \equiv 4 \pmod{5},\\[4pt] x \equiv 6 \pmod{7}. \end{cases}
Informações dadas: os módulos são 3\], \(5 e 7; os restos correspondentes são 2, 4 e 6. O que queremos é um x que satisfaça as três igualdades simultaneamente — e, em geral, a solução vem dada por uma classe de congruência módulo o produto dos módulos se eles forem coprimos.]
Passo 2
Estratégia (explicação do método que vamos usar): como os módulos 3, 5 e 7 são dois a dois coprimos, podemos aplicar o método construtivo do Teorema Chinês dos Restos (Chinese Remainder Theorem). A ideia prática é calcular:
N = 3\cdot 5\cdot 7
e, para cada equação x\equiv a_i\pmod{n_i}, definir N_i = \dfrac{N}{n_i}. Depois achamos um inverso y_i tal que
N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i},
e a solução é
x \equiv \sum_i a_i N_i y_i \pmod{N}.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
n_i são os módulos (3,5,7);
a_i são os restos (2,4,6);
N é o produto total dos módulos;
N_i é o produto total dividido por n_i;
y_i é o inverso multiplicativo de N_i módulo n_i (número tal que N_i y_i \equiv 1\pmod{n_i}).