Resolva cada sistema de congruências abaixo:
\begin{cases}x \equiv 2 & (\bmod 3) \\\ x \equiv 4 & (\bmod 5) \\\ x \equiv 6 & (\bmod 7)\end{cases}

Passo 1

Temos o sistema de congruências abaixo e a tarefa é encontrar todos os inteiros x\) que satisfazem simultaneamente as três congruências: \[\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{3},\\[4pt] x \equiv 4 \pmod{5},\\[4pt] x \equiv 6 \pmod{7}. \end{cases}
Informações dadas: os módulos são 3\], \(5 e 7; os restos correspondentes são 2, 4 e 6. O que queremos é um x que satisfaça as três igualdades simultaneamente — e, em geral, a solução vem dada por uma classe de congruência módulo o produto dos módulos se eles forem coprimos.]

Passo 2

Estratégia (explicação do método que vamos usar): como os módulos 3, 5 e 7 são dois a dois coprimos, podemos aplicar o método construtivo do Teorema Chinês dos Restos (Chinese Remainder Theorem). A ideia prática é calcular:
N = 3\cdot 5\cdot 7
e, para cada equação x\equiv a_i\pmod{n_i}, definir N_i = \dfrac{N}{n_i}. Depois achamos um inverso y_i tal que
N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i},
e a solução é
x \equiv \sum_i a_i N_i y_i \pmod{N}.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
  • n_i são os módulos ( 3,5,7);
  • a_i são os restos ( 2,4,6);
  • N é o produto total dos módulos;
  • N_i é o produto total dividido por n_i;
  • y_i é o inverso multiplicativo de N_i módulo n_i (número tal que N_i y_i \equiv 1\pmod{n_i}).

Passo 3

Calculando N e os N_i:
N = 3\cdot 5\cdot 7 = 105.
N_1 = \frac{N}{3} = 35,\qquad N_2 = \frac{N}{5} = 21,\qquad N_3 = \frac{N}{7} = 15.

Passo 4

Agora precisamos achar os inversos y_i tais que N_i y_i \equiv 1\pmod{n_i}.
Para n_1=3 e N_1=35: primeiro reduzimos N_1 módulo 3:
35 \equiv 2 \pmod{3}.
Queremos 2y_1 \equiv 1\pmod{3}. Testando os possíveis restos 0,1,2:
2\cdot 1 = 2 \not\equiv 1,\qquad 2\cdot 2 = 4 \equiv 1\pmod{3}.
Logo \,y_1 = 2. (Se preferir, isso vem do algoritmo de Euclides estendido, mas aqui é simples testar os três valores.)

Passo 5

Para n_2=5 e N_2=21: reduzimos N_2 módulo 5:
21 \equiv 1 \pmod{5}.
Queremos 1\cdot y_2 \equiv 1\pmod{5}, então \,y_2 = 1.

Passo 6

Para n_3=7 e N_3=15: reduzimos N_3 módulo 7:
15 \equiv 1 \pmod{7}.
Queremos 1\cdot y_3 \equiv 1\pmod{7}, então \,y_3 = 1.

Passo 7

Agora montamos a soma
x \equiv \sum_{i=1}^{3} a_i N_i y_i
com a_1=2, a_2=4, a_3=6. Substituindo:
x \equiv 2\cdot 35\cdot 2 \;+\; 4\cdot 21\cdot 1 \;+\; 6\cdot 15\cdot 1.
Calculemos cada termo passo a passo:
2\cdot 35\cdot 2 = 140,
4\cdot 21\cdot 1 = 84,
6\cdot 15\cdot 1 = 90.
Somando:
140 + 84 + 90 = 314.

Passo 8

Reduzimos 314 módulo N=105. Para isso, subtraímos 105 multiplicado pelo maior inteiro possível:
105\cdot 2 = 210,\qquad 314 - 210 = 104.
Portanto
x \equiv 104 \pmod{105}.

Passo 9

Checagem rápida (para garantir que não cometemos erro): verifiquemos os restos de x=104.
104 \bmod 3 = 2 \quad(\text{pois }3\cdot 34=102,\;104-102=2),
104 \bmod 5 = 4 \quad(\text{pois }5\cdot 20=100,\;104-100=4),
104 \bmod 7 = 6 \quad(\text{pois }7\cdot 14=98,\;104-98=6).
Tudo confere com as congruências originais.

Resposta

\,x \equiv 104 \pmod{105}

Exercícios relacionados