prove que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pedem para provar a desigualdade
para todo inteiro com . - Aqui
significa o fatorial de , isto é, . - E
é elevado ao cubo: multiplicar por si três vezes.
Passo 2
Vamos verificar o caso base
. Calcular explicitamente:
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Portanto
. Comparando com
:
Logo
Portanto a desigualdade vale para
. (Boa — começamos bem!)
Passo 3
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): vamos provar a afirmação para todo
por indução matemática. Indução funciona em dois passos principais:
- Mostrar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor (
— já fizemos). - Mostrar que, se a propriedade vale para um certo
(hipótese de indução), então ela vale também para . Uma vez que esses dois passos estão feitos, a propriedade vale para todo .
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum inteiro
valha
Queremos deduzir que então
Passo 5
A partir da hipótese, calculemos
:
Usando a hipótese
temos
Portanto basta mostrar que
pois então teremos
.
Passo 6
Verificar a desigualdade
para
(esta é equivalente à anterior dividindo ambos os lados por
). Vamos provar uma desigualdade mais simples que implica essa: para
vale
Isto é claro porque multiplicando
por
obtemos
. Agora para inteiros
temos
pois para
temos
(no mínimo em
é
). Assim para
Combinando as duas desigualdades para
obtemos
portanto
para todo
. Em particular, para
isso vale. Portanto
Juntando com a desigualdade estrita obtida no Passo 5,
assim
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 7
Conclusão final por indução: como a desigualdade foi verificada para
(Passo 2) e mostramos que, sempre que vale para um
ela vale para
(Passos 4–6), segue por indução matemática que
Parabéns — provamos que o fatorial ultrapassa o cubo a partir de
; intuitivamente, a partir daí o produto de muitos fatores já vence
elevado a
, e essa vantagem só aumenta conforme
cresce.