prove que
n!>n^{3} \forall n \geq 6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pedem para provar a desigualdade \,n!>n^{3}\, para todo n inteiro com \,n\geq 6.
  • Aqui \,n!\, significa o fatorial de n, isto é, \,n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • E \,n^{3}\, é n elevado ao cubo: multiplicar n por si três vezes.

Passo 2

Vamos verificar o caso base n=6. Calcular explicitamente:
6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6.
Fazendo as multiplicações passo a passo:
1\cdot2=2,\quad 2\cdot3=6,\quad 6\cdot4=24,\quad 24\cdot5=120,\quad 120\cdot6=720.
Portanto \,6! = 720. Comparando com 6^{3}:
6^{3} = 6\cdot6\cdot6 = 36\cdot6 = 216.
Logo
6! = 720 > 216 = 6^{3}.
Portanto a desigualdade vale para n=6. (Boa — começamos bem!)

Passo 3

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): vamos provar a afirmação para todo n\geq6 por indução matemática. Indução funciona em dois passos principais:
  1. Mostrar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor ( n=6 — já fizemos).
  2. Mostrar que, se a propriedade vale para um certo k\ge 6 (hipótese de indução), então ela vale também para k+1. Uma vez que esses dois passos estão feitos, a propriedade vale para todo n\ge6.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para algum inteiro k\geq6 valha
k! > k^{3}.
Queremos deduzir que então
(k+1)! > (k+1)^{3}.

Passo 5

A partir da hipótese, calculemos (k+1)!:
(k+1)! = (k+1)\cdot k!.
Usando a hipótese k!>k^{3} temos
(k+1)! = (k+1)\cdot k! > (k+1)\cdot k^{3}.
Portanto basta mostrar que
(k+1)\cdot k^{3} \ge (k+1)^{3},
pois então teremos (k+1)! > (k+1)^{3}.

Passo 6

Verificar a desigualdade k^{3} \ge (k+1)^{2} para k\ge 6 (esta é equivalente à anterior dividindo ambos os lados por k+1>0). Vamos provar uma desigualdade mais simples que implica essa: para k\ge 3 vale
k^{3} \ge 3k^{2}.
Isto é claro porque multiplicando k\ge 3 por k^{2} obtemos k^{3}\ge 3k^{2}. Agora para inteiros k\ge 2 temos
3k^{2} - \bigl(k^{2}+2k+1\bigr) = 2k^{2}-2k-1 = 2\bigl(k^{2}-k\bigr)-1 \ge 2\cdot(2)-1 =3>0,
pois para k\ge 2 temos k^{2}-k \ge 2 (no mínimo em k=2 é 2). Assim para k\ge 2
3k^{2} \ge k^{2}+2k+1 = (k+1)^{2}.
Combinando as duas desigualdades para k\ge 3 obtemos
k^{3} \ge 3k^{2} \ge (k+1)^{2},
portanto k^{3} \ge (k+1)^{2} para todo k\ge 3. Em particular, para k\ge 6 isso vale. Portanto
(k+1)\cdot k^{3} \ge (k+1)\cdot (k+1)^{2} = (k+1)^{3}.
Juntando com a desigualdade estrita obtida no Passo 5,
(k+1)! > (k+1)\cdot k^{3} \ge (k+1)^{3},
assim (k+1)! > (k+1)^{3}. Isso completa o passo indutivo.

Passo 7

Conclusão final por indução: como a desigualdade foi verificada para n=6 (Passo 2) e mostramos que, sempre que vale para um k\ge6 ela vale para k+1 (Passos 4–6), segue por indução matemática que
n! > n^{3}\quad\text{para todo inteiro }n\ge 6.
Parabéns — provamos que o fatorial ultrapassa o cubo a partir de 6; intuitivamente, a partir daí o produto de muitos fatores já vence n elevado a 3, e essa vantagem só aumenta conforme n cresce.

Resposta

n!>n^{3} para todo n\geq 6

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