Resolva o sistema \left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\\\ 2 x-y+3 z=0 \\\\ -x+y-5 z=2\end{array}\right., utilizando matriz inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] 2x-y+3z=0\\[4pt] -x+y-5z=2 \end{cases}
As informações relevantes são:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • O sistema pode ser escrito na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
    O que o problema pede: resolver para x, y e z usando a matriz inversa.]

Passo 2

Primeiro representamos o sistema em forma matricial. Definimos
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] -1 & 1 & -5\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
A ideia: se A for invertível (ou seja, \det(A)\neq0), então \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Vou calcular A^{-1} pelo método da matriz adjunta (cofatores), que dá a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores.]

Passo 3

Calcular o determinante \det(A) desenvolvendo pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] -1 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2×2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-3\cdot1=5-3=2,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] -1 & -5\end{pmatrix}=2(-5)-3(-1)=-10+3=-7,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)(-1)=2-1=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot2 -1\cdot(-7) +1\cdot1 = 2+7+1=10.
Como \det(A)=10\neq0, a matriz é invertível e podemos prosseguir.]

Passo 4

Vamos calcular todos os menores M_{ij} (determinantes das submatrizes ao tirar a linha i e a coluna j) para formar a matriz dos cofatores.
Cálculos dos menores:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix}=2, \qquad M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] -1 & -5\end{pmatrix}=-7, \qquad M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}=1,
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix}=1\cdot(-5)-1\cdot1=-6,
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & -5\end{pmatrix}=1\cdot(-5)-1\cdot(-1)=-5+1=-4,
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot(-1)=1+1=2,
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot(-1)=3+1=4,
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot2=3-2=1,
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot2=-1-2=-3.]

Passo 5

Agora construímos a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) com C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Calculando cada cofator:
C_{11}=+M_{11}=2,\quad C_{12}=-M_{12}=7,\quad C_{13}=+M_{13}=1,
C_{21}=-M_{21}=6,\quad C_{22}=+M_{22}=-4,\quad C_{23}=-M_{23}=-2,
C_{31}=+M_{31}=4,\quad C_{32}=-M_{32}=-1,\quad C_{33}=+M_{33}=-3.
Portanto a matriz dos cofatores é
C=\begin{pmatrix}2 & 7 & 1\\[4pt] 6 & -4 & -2\\[4pt] 4 & -1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 6

A adjunta (ou adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}2 & 6 & 4\\[4pt] 7 & -4 & -1\\[4pt] 1 & -2 & -3\end{pmatrix}.
Logo a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}2 & 6 & 4\\[4pt] 7 & -4 & -1\\[4pt] 1 & -2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calculamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Primeiro calculamos \operatorname{adj}(A)\mathbf{b}:
\operatorname{adj}(A)\mathbf{b}= \begin{pmatrix}2 & 6 & 4\\[4pt] 7 & -4 & -1\\[4pt] 1 & -2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\\[4pt] 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 6\cdot0 + 4\cdot2\\[6pt] 7\cdot1 + (-4)\cdot0 + (-1)\cdot2\\[6pt] 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + (-3)\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt] 5\\[4pt] -5\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por 1/10:
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}10\\[4pt] 5\\[4pt] -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt] \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação final: as incógnitas são
x=1,\qquad y=\tfrac{1}{2},\qquad z=-\tfrac{1}{2}.
Boa! Conseguimos a solução usando a matriz inversa. Relaxa: com prática esse procedimento vira automático — checar o determinante, formar cofatores, transpor e multiplicar pelo vetor dos termos independentes.

Resposta

x=1
y=\dfrac{1}{2}
z=-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados