Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta:
\left\{\begin{array}{l}6 x+2 y+4 z=0 \\\\ -9 x-3 y-6 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) resolver o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 6x+2y+4z=0\\[4pt] -9x-3y-6z=0 \end{array}\right.
(2) classificar o sistema (se é impossível, possível e determinado, ou possível e indeterminado), e (3) verificar se a solução encontrada está correta.
As informações dadas são exatamente as duas equações acima (todos os termos independentes são 0, é um sistema homogêneo com 2 equações e 3 incógnitas).]

Passo 2

Primeira observação simples (verificação de dependência entre equações): calcular se a segunda equação é múltiplo da primeira. Multiplicando a primeira equação por -\tfrac{3}{2} obtém-se
-\tfrac{3}{2}\bigl(6x+2y+4z\bigr)=-\tfrac{3}{2}\cdot0 \quad\Longrightarrow\quad -9x-3y-6z=0,
que coincide exatamente com a segunda equação. Logo, a segunda equação é dependente da primeira (não acrescenta nova informação).

Passo 3

Vou usar eliminação (redução por linhas) para ver o posto da matriz ampliada e obter a solução em forma paramétrica. A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 2 & 4 & 0\\[4pt] -9 & -3 & -6 & 0 \end{array}\right].
Aplicando a operação R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{3}{2}R_1 obtemos
R_2: (-9)+\tfrac{3}{2}\cdot6=0,\quad (-3)+\tfrac{3}{2}\cdot2=0,\quad (-6)+\tfrac{3}{2}\cdot4=0,\quad 0+\tfrac{3}{2}\cdot0=0,
portanto a segunda linha vira [0\\\ 0\\\ 0\mid 0]. A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretação do resultado: há apenas uma equação linear independente (a primeira). O posto da matriz de coeficientes é 1. Como o número de incógnitas é 3, o número de variáveis livres é 3-1=2. Portanto o sistema é homogêneo, consistente e possui infinitas soluções (é “possível e indeterminado”).

Passo 5

Agora vamos parametrizar as soluções. Da única equação independente temos
6x+2y+4z=0.
Isolando x:
6x = -2y -4z \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{2y+4z}{6}.
Simplificando o fator 2:
x = -\frac{y+2z}{3}.

Passo 6

Escolhendo parâmetros livres para y e z, por exemplo \displaystyle y=s,\\ z=t com s,t\in\mathbb{R}, obtemos a solução geral
x=-\frac{s+2t}{3},\qquad y=s,\qquad z=t.

Passo 7

Escrever a solução em forma vetorial (mais compacta) ajuda na prova e interpretação:
\begin{aligned} (x,y,z) &=\left(-\frac{s+2t}{3},\,s,\,t\right)\\[4pt] &=s\left(-\frac{1}{3},\,1,\,0\right)+t\left(-\frac{2}{3},\,0,\,1\right), \qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}]

Passo 8

Verificação: substituir a solução geral na primeira equação para checar que dá 0.
Substituindo x=-\dfrac{s+2t}{3}, y=s, z=t em 6x+2y+4z:
6\!\left(-\frac{s+2t}{3}\right)+2s+4t=-2(s+2t)+2s+4t=-2s-4t+2s+4t=0.
Como a segunda equação é múltiplo da primeira (já observamos isso), ela também será satisfeita automaticamente por qualquer solução da primeira. Portanto a solução geral encontrada está correta.

Passo 9

Interpretação geométrica curta (opcional mas útil): sendo o sistema homogêneo com posto 1 em \mathbb{R}^3, o espaço de soluções é um subespaço de dimensão 2 (um plano através da origem) gerado pelos vetores \left(-\tfrac{1}{3},1,0\right) e \left(-\tfrac{2}{3},0,1\right).

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\left(-\frac{s+2t}{3},\,s,\,t\right),\\ s,t\in\mathbb{R}.
Possível e indeterminado (infinitas soluções).

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