Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta: \left\{\begin{array}{l}6 x+2 y+4 z=0 \\\\ -9 x-3 y-6 z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) resolver o sistema linear
(2) classificar o sistema (se é impossível, possível e determinado, ou possível e indeterminado), e (3) verificar se a solução encontrada está correta.
As informações dadas são exatamente as duas equações acima (todos os termos independentes são 0, é um sistema homogêneo com 2 equações e 3 incógnitas).]
Passo 2
Primeira observação simples (verificação de dependência entre equações): calcular se a segunda equação é múltiplo da primeira. Multiplicando a primeira equação por -\tfrac{3}{2} obtém-se
Interpretação do resultado: há apenas uma equação linear independente (a primeira). O posto da matriz de coeficientes é 1. Como o número de incógnitas é 3, o número de variáveis livres é 3-1=2. Portanto o sistema é homogêneo, consistente e possui infinitas soluções (é “possível e indeterminado”).
Passo 5
Agora vamos parametrizar as soluções. Da única equação independente temos
6x+2y+4z=0.
Isolando x:
6x = -2y -4z \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{2y+4z}{6}.
Simplificando o fator 2:
x = -\frac{y+2z}{3}.
Passo 6
Escolhendo parâmetros livres para y e z, por exemplo \displaystyle y=s,\\ z=t com s,t\in\mathbb{R}, obtemos a solução geral
x=-\frac{s+2t}{3},\qquad y=s,\qquad z=t.
Passo 7
Escrever a solução em forma vetorial (mais compacta) ajuda na prova e interpretação:
Como a segunda equação é múltiplo da primeira (já observamos isso), ela também será satisfeita automaticamente por qualquer solução da primeira. Portanto a solução geral encontrada está correta.
Passo 9
Interpretação geométrica curta (opcional mas útil): sendo o sistema homogêneo com posto 1 em \mathbb{R}^3, o espaço de soluções é um subespaço de dimensão 2 (um plano através da origem) gerado pelos vetores \left(-\tfrac{1}{3},1,0\right) e \left(-\tfrac{2}{3},0,1\right).