Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta:
\left\{\begin{array}{l}2 x-5 y-z=-8 \\\\ 3 x-2 y-4 z=-11 \\\\ -5 x+y+z=-9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Resolver o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2x-5y-z=-8,\\[4pt] 3x-2y-4z=-11,\\[4pt] -5x+y+z=-9, \end{array}\right.
ou seja, encontrar os valores de (x,y,z) que satisfazem as três equações simultaneamente.
  • Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou é impossível) e verificar se a solução encontrada está correta (substituir de volta nas equações).
As informações dadas são exatamente as três equações acima; não há outras condicionantes.]

Passo 2

Primeiro vou explicar um critério rápido para classificar o sistema. Se escrevermos o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde
A=\begin{pmatrix}2 & -5 & -1\\[4pt]3 & -2 & -4\\[4pt]-5 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-8\\[2pt]-11\\[2pt]-9\end{pmatrix},
então um fato importante é: se \det(A)\neq 0 a matriz A é invertível e o sistema tem uma única solução; se \det(A)=0 precisamos analisar mais para ver se há infinitas soluções ou nenhuma.
Vou calcular \det(A). Usando a regra de Laplace pela primeira linha:
\det(A)=2\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -(-5)\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[2pt]-5 & 1\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[2pt]-5 & 1\end{pmatrix}.
Calculemos cada determinante menor:
\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot 1 - (-4)\cdot 1 = -2+4=2,
\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[2pt]-5 & 1\end{pmatrix}=3\cdot 1 - (-4)\cdot(-5)=3-20=-17,
\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[2pt]-5 & 1\end{pmatrix}=3\cdot 1 - (-2)\cdot(-5)=3-10=-7.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 2 -(-5)\cdot(-17) + (-1)\cdot(-7) = 4 - 85 + 7 = -74.
Como \det(A)=-74\neq 0, concluímos que o sistema é determinado: tem uma única solução.]

Passo 3

Agora vou encontrar essa solução com eliminação de Gauss (método prático para 3×3). Começo escrevendo a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & -1 & -8\\[4pt] 3 & -2 & -4 & -11\\[4pt] -5 & 1 & 1 & -9 \end{array}\right].
O objetivo da eliminação é zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna e reduzir a matriz a uma forma triangular superior para depois fazer retro-substituição.
Tomando a primeira linha como pivô, elimino a entrada 3 abaixo dela (segunda linha) fazendo R_2 \leftarrow R_2 -\tfrac{3}{2}R_1 e elimino a entrada -5 (terceira linha) fazendo R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{5}{2}R_1. Calculando cada nova linha:
Para R_2:
R_2=\bigl(3,-2,-4\mid -11\bigr)-\tfrac{3}{2}\bigl(2,-5,-1\mid -8\bigr) =\bigl(0,\,-2+\tfrac{15}{2},\,-4+\tfrac{3}{2}\mid -11+12\bigr) =\bigl(0,\tfrac{11}{2},-\tfrac{5}{2}\mid 1\bigr).
Para R_3:
R_3=\bigl(-5,1,1\mid -9\bigr)+\tfrac{5}{2}\bigl(2,-5,-1\mid -8\bigr) =\bigl(0,\,1-\tfrac{25}{2},\,1-\tfrac{5}{2}\mid -9-20\bigr) =\bigl(0,-\tfrac{23}{2}, -\tfrac{3}{2}\mid -29\bigr).
Para evitar muitos algarismos fracionários, multiplico R_2 e R_3 por 2 (operações permitidas que facilitam os cálculos):
R_2\leftarrow 2R_2=\bigl(0,11,-5\mid 2\bigr),\qquad R_3\leftarrow 2R_3=\bigl(0,-23,-3\mid -58\bigr).
A matriz aumentada fica então
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & -1 & -8\\[4pt] 0 & 11 & -5 & 2\\[4pt] 0 & -23 & -3 & -58 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora elimino o elemento -23 em R_3 usando R_2 como pivô da segunda coluna. Faço
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{23}{11}R_2,
pois -23 + \frac{23}{11}\cdot 11 = 0. Calculemos a nova terceira linha:
R_3=\bigl(0,-23,-3\mid -58\bigr)+\frac{23}{11}\bigl(0,11,-5\mid 2\bigr) =\bigl(0,0,\,-3+\tfrac{23}{11}(-5)\mid -58+\tfrac{23}{11}\cdot 2\bigr).
Calculemos os termos numéricos:
-3+\tfrac{23}{11}(-5) = -3 - \tfrac{115}{11} = -\tfrac{33}{11}-\tfrac{115}{11}=-\tfrac{148}{11},
-58+\tfrac{23}{11}\cdot 2 = -58 + \tfrac{46}{11} = -\tfrac{638}{11}+\tfrac{46}{11}=-\tfrac{592}{11}.
Portanto a terceira linha se torna
\bigl(0,0,-\tfrac{148}{11}\mid -\tfrac{592}{11}\bigr).
Isso dá a equação (na terceira linha):
-\tfrac{148}{11}\,z=-\tfrac{592}{11}.
Dividindo ambos os lados por -\tfrac{148}{11} obtemos
z=\frac{-\tfrac{592}{11}}{-\tfrac{148}{11}}=\frac{592}{148}=4.

Passo 5

Agora faço retro-substituição para achar y e x.
Da segunda linha (antes da última eliminação) temos
11y-5z=2.
Substituindo z=4:
11y-5\cdot 4=2\quad\Rightarrow\quad 11y-20=2\quad\Rightarrow\quad 11y=22\quad\Rightarrow\quad y=2.
Da primeira equação original,
2x-5y-z=-8.
Substituindo y=2 e z=4:
2x-5\cdot 2-4=-8\quad\Rightarrow\quad 2x-10-4=-8\quad\Rightarrow\quad 2x-14=-8\quad\Rightarrow\quad 2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3.
Assim a solução encontrada é (x,y,z)=(3,2,4).

Passo 6

Verificação: preciso substituir (x,y,z)=(3,2,4) em cada equação original para confirmar.
  1. Primeira equação:
2x-5y-z=2\cdot 3 -5\cdot 2 -4 = 6-10-4=-8,
que coincide com o lado direito -8.
  1. Segunda equação:
3x-2y-4z=3\cdot 3 -2\cdot 2 -4\cdot 4 = 9-4-16=-11,
que coincide com o lado direito -11.
  1. Terceira equação:
-5x+y+z = -5\cdot 3 +2 +4 = -15+6=-9,
que coincide com o lado direito -9.
As três substituições conferem, logo a solução está correta.

Resposta

Sistema determinado (única solução).
(x,y,z)=(3,2,4).
Verificação: a solução satisfaz as três equações.

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