Resolva por cramer e escalonamento
5. lx+y-z+w=-5 -x-2 y+z+w=-2 2 x-y+z-w=2 -3 x-4 y-z+w=-6

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas:
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por dois métodos: eliminação de Gauss (escalonamento) e regra de Cramer. Para Gauss, vamos montar a matriz aumentada e triangularizá-la, depois fazer substituição reversa. Para Cramer, precisamos do determinante da matriz dos coeficientes e dos determinantes obtidos trocando cada coluna por .

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações do tipo ``soma de múltiplos de linhas'' (que não mudam o determinante da parte de coeficientes):
[rrrr|r 1 & 1 & -1 & 1 & -5 -1 & -2 & 1 & 1 & -2 2 & -1 & 1 & -1 & 2 -3 & -4 & -1 & 1 & -6 ]
R2 R2 + R1,\quad R3 R3 - 2 cdot R1,\quad R4 R4 + 3 cdot R1
[rrrr|r 1 & 1 & -1 & 1 & -5 0 & -1 & 0 & 2 & -7 0 & -3 & 3 & -3 & 12 0 & -1 & -4 & 4 & -21 ]
Depois R3 R3 - 3 cdot R2 e R4 R4 - 1 cdot R2
[rrrr|r 1 & 1 & -1 & 1 & -5 0 & -1 & 0 & 2 & -7 0 & 0 & 3 & -9 & 33 0 & 0 & -4 & 2 & -14 ]
Finalmente R4 R4 + tfrac43 cdot R3 produz a forma triangular:
[rrrr|r 1 & 1 & -1 & 1 & -5 0 & -1 & 0 & 2 & -7 0 & 0 & 3 & -9 & 33 0 & 0 & 0 & -10 & 30 ]

Passo 3

Fazendo substituição reversa:
-10,w = 30;Rightarrow;w=-3,
3,z -9,w =33;Rightarrow;3z+27=33;Rightarrow;z=2,
-,y +2,w = -7;Rightarrow;-y-6=-7;Rightarrow;y=1,
x + y - z + w = -5;Rightarrow;x+1-2-3=-5;Rightarrow;x=-1
Logo a solução é (x,y,z,w)=(-1,1,2,-3).

Passo 4

Para Cramer precisamos do determinante da matriz dos coeficientes
A= 1 & 1 & -1 & 1 -1 & -2 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & -1 -3 & -4 & -1 & 1
Como só usamos operações do tipo R i R i + c cdotR j, o determinante não mudou, e na forma triangular os pivôs são 1, -1, 3 e -10. Assim
det(A) = 1 times (-1)times 3 times(-10)=30

Passo 5

Pela regra de Cramer, x=detx/det(A). Mas já temos x=-1 e det(A)=30, logo
detx = xdet(A) = -1cdot 30 = -30
Analogamente
dety = 1cdot30 = 30, detz=2cdot30=60, detw=(-3)cdot30=-90
E verificamos que
x = detxdet(A) = -3030=-1,; y=3030=1,; z=6030=2,; w=-9030=-3

Resposta

(x,y,z,w)=(-1,1,2,-3)
Determinantes: det(A)=30, detx=-30, dety=30, detz=60, detw=-90

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