1- Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+3x y'-3y=0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de x.
  • Não há condições iniciais; portanto buscamos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
  • A equação está escrita para x\neq 0 (pois há fatores x no denominador se quisermos dividir), portanto a solução será válida em intervalos onde x não se anula.

Passo 2

Ideia do método e por que ele funciona (aula curta e didática).
Para equações da forma
x^{2}y''+a x y'+b y=0
é eficiente tentar uma solução do tipo y=x^{m}, com m sendo um número (constante) a determinar. Por quê? Porque potências de x têm derivadas que produzem fatores polinomiais em m multiplicando a mesma potência de x, o que permite transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para m. Vou aplicar isso ao nosso caso com a=3 e b=-3.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{m} e substituir na equação.
Se y=x^{m} então
y' = m x^{m-1}, \qquad y'' = m(m-1) x^{m-2}.
Substituindo em
x^{2}y''+3x y'-3y=0
obtém-se
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+3x\bigl(m x^{m-1}\bigr)-3\bigl(x^{m}\bigr)=0.
Agora fatoramos x^{m} (como x^{m-2}\cdot x^{2}=x^{m}, etc.):
x^{m}\bigl(m(m-1)+3m-3\bigr)=0.

Passo 4

Obter a equação característica e resolver para m.
Como x^{m} não é identicamente zero para x\neq 0, o fator entre parênteses deve ser zero:
m(m-1)+3m-3=0.
Desenvolvendo:
m^{2}-m+3m-3=m^{2}+2m-3=0.
É uma quadrática cuja discrimante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16.
Portanto as raízes são
m=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Logo
m_{1}=1,\qquad m_{2}=-3.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas m_{1} e m_{2}, as funções x^{m_{1}} e x^{m_{2}} são linearmente independentes em cada intervalo onde x\neq 0, e a solução geral da equação é
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve justificativa: o wronskiano de x^{m_{1}} e x^{m_{2}} é proporcional a (m_{2}-m_{1})x^{m_{1}+m_{2}-1}, que não é zero para x\neq 0 quando m_{1}\neq m_{2}.)

Passo 6

Aplicando as raízes obtidas (m_{1}=1,\\ m_{2}=-3) temos a solução final.
Substituindo:
y(x)=C_{1}x^{1}+C_{2}x^{-3}=C_{1}x+C_{2}x^{-3},
válida para x\neq 0. Aqui C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (ou complexas, se desejar trabalhar nesse campo).

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{-3}

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