1- Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. - Não há condições iniciais; portanto buscamos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
- A equação está escrita para
(pois há fatores no denominador se quisermos dividir), portanto a solução será válida em intervalos onde não se anula.
Passo 2
Ideia do método e por que ele funciona (aula curta e didática).
Para equações da forma
Para equações da forma
é eficiente tentar uma solução do tipo
, com
sendo um número (constante) a determinar. Por quê? Porque potências de
têm derivadas que produzem fatores polinomiais em
multiplicando a mesma potência de
, o que permite transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Vou aplicar isso ao nosso caso com
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e substituir na equação.
Se então
Se
Substituindo em
obtém-se
Agora fatoramos
(como
, etc.):
Passo 4
Obter a equação característica e resolver para
.
Como não é identicamente zero para
, o fator entre parênteses deve ser zero:
Como
Desenvolvendo:
É uma quadrática cuja discrimante é
Portanto as raízes são
Logo
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas e
, as funções
e
são linearmente independentes em cada intervalo onde
, e a solução geral da equação é
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve justificativa: o wronskiano de
e
é proporcional a
, que não é zero para
quando
.)
Passo 6
Aplicando as raízes obtidas
temos a solução final.
Substituindo:
Substituindo:
válida para
. Aqui
e
são constantes arbitrárias reais (ou complexas, se desejar trabalhar nesse campo).