Resolva a E.D.O:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x ln (x)
Lembre-se: a solução é dada por y=yh+yp, onde yh é solução da E.D.O homogênea e yp é solução particular da E.D.O não-homogênea.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O de segunda ordem não-homogênea
y''-2y'+y = e^xln(x),
ou seja, precisamos achar a solução geral como y=yh+yp, onde yh resolve a equação homogênea associada e yp é uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y''-2y'+y=0
O polinômio característico é r^2-2r+1=(r-1)^2=0, raiz dupla r=1. Logo
yh=C1e^x+C2x e^x

Passo 3

Para a parte não-homogênea usamos o método de variação de parâmetros. Sejam y1=e^x e y2=x e^x as soluções fundamentais de yh. A fórmula geral é
yp=-y1,igllbrack,integral racy2 fW,dxrrbrack + y2,igllbrack,integral racy1 fW,dxrrbrack, 
onde f(x)=e^xln(x) e W=y1y2'-y1'y2 é o Wronskiano.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano:
W = e^x( e^x + x e^x)-e^x(x e^x)=e^2x
Logo nas integrais aparece
$$\frac{y_2 f}{W}=\frac{x e^x\cdot ex\ln(x)}{e{2x}}=x\ln(x),
\quad
\frac{y_1 f}{W}=\frac{e^x\cdot ex\ln(x)}{e{2x}}=\ln(x).
$$

Passo 5

Agora calculamos as duas integrais
I1=integral xln(x),dx
Fazendo integração por partes com u=ln(x), dv=x,dx
$$I_1=\frac{x2}{2}\ln(x)-\int\frac{x2}{2}\cdot\frac1x,dx=\frac{x2}{2}\ln(x)-\frac{x2}{4}.
I1=x^22ln(x)-integralx^22cdot1x,dx=x^22ln(x)-x^24 I_2=\int\ln(x),dx = x\ln(x)-x.
$$

Passo 6

Montamos então
yp = -e^xl(I1r)+ x e^xl(I2r) =-e^xl(x^22ln(x)-x^24r)+x e^xl(xln(x)-xr)
Ao simplificar chega-se a
$$y_p=\frac12x2ex\ln(x)-\frac34x2ex.
$$

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1e^x+C2x e^x+12x^2e^xln(x)-34x^2e^x

Exercícios relacionados