Resolva a E.D.O:
Lembre-se: a solução é dada por
, onde
é solução da E.D.O homogênea e
é solução particular da E.D.O não-homogênea.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a E.D.O de segunda ordem não-homogênea
ou seja, precisamos achar a solução geral como
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
O polinômio característico é
Passo 3
Para a parte não-homogênea usamos o método de variação de parâmetros. Sejam
e
as soluções fundamentais de
. A fórmula geral é
onde
Passo 4
Calculamos o Wronskiano:
Logo nas integrais aparece
$$\frac{y_2 f}{W}=\frac{x e^x\cdot ex\ln(x)}{e{2x}}=x\ln(x),
\quad
\frac{y_1 f}{W}=\frac{e^x\cdot ex\ln(x)}{e{2x}}=\ln(x).
\frac{y_1 f}{W}=\frac{e^x\cdot ex\ln(x)}{e{2x}}=\ln(x).
$$
Passo 5
Agora calculamos as duas integrais
Fazendo integração por partes com
$$I_1=\frac{x2}{2}\ln(x)-\int\frac{x2}{2}\cdot\frac1x,dx=\frac{x2}{2}\ln(x)-\frac{x2}{4}.
$$
Passo 6
Montamos então
Ao simplificar chega-se a
$$y_p=\frac12x2ex\ln(x)-\frac34x2ex.
$$
Resposta
A solução geral é