(70 Pontos)
Calcular a solução do problema de valor inicial:
Calcular a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do segundo grau com derivadas, que envolve
, e condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla (
), a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a parte não homogênea da equação:
.
Primeiro, observamos que o termo
já está presente na solução homogênea. Por isso, para evitar duplicação, vamos multiplicar por
e supor uma solução da forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Simplificando, temos:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Após substituir e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos similares para encontrar
,
e
:
Isso resulta em:
Simplificando mais:
Comparando os coeficientes:
-
(para ) -
(para ) ⇒ -
⇒ ⇒ ⇒
Escolhemos
e
para simplificar.
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Agora, juntamos a solução homogênea
com a solução particular
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição
:
Segunda condição
:
Primeiro, calculamos
:
Avaliando em
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: