(70 Pontos)
Calcular a solução do problema de valor inicial:
y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do segundo grau com derivadas, que envolve , e condições iniciais e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 - 2r + 1 = 0 . Para isso, encontramos a equação característica substituindo r = 2 pm raiz4 - 42 = 22 = 1 por yh(t) = (C1 + C2 t) e^t :
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla ( ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp(t) = t (A t + B) e^t + D ) para a parte não homogênea da equação: .
Primeiro, observamos que o termo já está presente na solução homogênea. Por isso, para evitar duplicação, vamos multiplicar por e supor uma solução da forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp' = (A t + B) e^t + t (A) e^t + t (A t + B) e^t = (A t + B) e^t + A t e^t + A t^2 e^t + B t e^t :
Primeira derivada ( yp'' = (A) e^t + (A t + B) e^t + A e^t + A t e^t + 2A t e^t + A t^2 e^t + B e^t + B t e^t ):
yp'' = (A t^2 + (4A + B) t + (2A + B)) e^t
Segunda derivada ( ):
Simplificando, temos:

Passo 5

Substituímos yp'' - 2yp' + yp = te^t + 4 , (A t^2 + (4A + B) t + (2A + B)) e^t - 2(A t^2 + 2A t + B t) e^t + (A t^2 + B t + D) = te^t + 4 e (A) t^2 e^t + (4A + B - 2A - 2B + B) t e^t + (2A + B - 0 + D) = te^t + 4 na equação original:
A t^2 e^t + (2A) t e^t + (2A + B + D) = te^t + 4
Após substituir e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos similares para encontrar yp(t) = t ( 12 t + 3 ) e^t , e :
Isso resulta em:
Simplificando mais:
Comparando os coeficientes:
  • (para )
  • (para ) ⇒
Escolhemos e para simplificar.
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Agora, juntamos a solução homogênea y(t) = (C1 + C2 t) e^t + t ( 12 t + 3 ) e^t com a solução particular y(t) = ( C1 + C2 t + 12 t^2 + 3t ) e^t :
Simplificando:

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar 1 = ( C1 + 0 + 0 + 0 ) e^0 Rightarrow C1 = 1 e y'(t) = ( C2 + t C2' + t + 3 ) e^t + ( C1 + C2 t + 12 t^2 + 3t ) e^t .
Primeira condição 1 = (C2 + 0 + 0 + 3) e^0 + (1 + 0 + 0 + 0) e^0 Rightarrow C2 + 3 + 1 = 1 Rightarrow C2 = -3 :
Segunda condição :
Primeiro, calculamos :
Avaliando em :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = ( 1 - 3t + 12 t^2 + 3t ) e^t = ( 1 + 12 t^2 ) e^t

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