Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
(x^2+1) y^prime+x y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a E.D.O. de primeira ordem (x^2+1)y'+xy=0. O conteúdo aqui é equação linear na forma y'+P(x)y=Q(x) e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato padrão dividindo tudo por x^2+1:
y' + xx^2+1y = 0
Aqui identificamos P(x)=xx^2+1 e Q(x)=0.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por mu(x)=e^integral P(x),dx. Calculamos:
mu(x)=e^integral xx^2+1,dx=e^12ln(x^2+1)=raizx^2+1

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=raizx^2+1. O lado esquerdo vira derivada do produto:
raizx^2+1,y' + xraizx^2+1,y = ddxl(raizx^2+1,yr)
Então obtemos
ddxl(raizx^2+1,yr)=0
Integrando ambos os lados,
raizx^2+1,y = C

Passo 5

Isolando y, ficamos com
$$
y(x)=\frac{C}{\sqrt{x^2+1}}$$
Onde y(x)=Craizx^2+1 é constante de integração.

Resposta

y(x)=\frac{C}{\sqrt{x^2+1}}

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