Resolva as Derivadas abaixo usando a regra da Cadeia:
y=(x^3-2 x)^6(2 sen(x)+x^2e^x)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada de uma função complicada usando a Regra da Cadeia. A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas. Além disso, vamos usar a Regra do Produto, já que temos um produto de duas funções grandes aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
u = (x^3 - 2x)^6
A gente vai precisar derivar cada uma delas separadamente antes de aplicar a Regra do Produto.

Passo 3

Vamos começar derivando u = (x^3 - 2x)^6 :
ddx ( z^6 ) = 6z^5
Aqui, temos uma função composta porque dzdx = 3x^2 - 2 é uma potência de u' = 6(x^3 - 2x)^5 (3x^2 - 2) . Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz para multiplicar a derivada externa pela derivada interna.
Primeiro, derivamos a parte externa:
Agora, derivamos a parte interna :
Então, a derivada de fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar v = (2 sen(x) + x^2e^x)^8 :
Mais uma vez, temos uma função composta, então vamos usar a Regra da Cadeia.
Primeiro, derivamos a parte externa:
ddx ( w^8 ) = 8w^7
Agora, precisamos derivar a parte interna . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que nos diz que a derivada de f' g - f g'g^2 é:
f = 2 sen(x) + x^2
Vamos calcular f' = 2 cos(x) + 2x e g = e^x :
g' = e^x
dwdx = (2 cos(x) + 2x) e^x - (2 sen(x) + x^2) e^x(e^x)^2
= e^x (2 cos(x) + 2x - 2 sen(x) - x^2)e^2x
Aplicando a Regra do Quociente:
Então, a derivada de = 2 cos(x) + 2x - 2 sen(x) - x^2e^x fica:

Passo 5

Agora que temos as derivadas de dydx = u' v + u v' e y' = 6(x^3 - 2x)^5 (3x^2 - 2) (2 sen(x) + x^2e^x)^8 + (x^3 - 2x)^6 cdot 8 (2 sen(x) + x^2e^x)^7 ( 2 cos(x) + 2x - 2 sen(x) - x^2e^x ) , vamos aplicar a Regra do Produto para derivar . A Regra do Produto nos diz que:
Substituindo e :

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando termos comuns. Observamos que y' = (x^3 - 2x)^5 (2 sen(x) + x^2e^x)^7 [ 6(3x^2 - 2) (2 sen(x) + x^2e^x) + 8(x^3 - 2x) ( 2 cos(x) + 2x - 2 sen(x) - x^2e^x ) ] e são comuns em ambos os termos. Vamos fatorar:

Resposta

A derivada da função é:

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