Resolva as Derivadas abaixo usando a regra da Cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada de uma função complicada usando a Regra da Cadeia. A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas. Além disso, vamos usar a Regra do Produto, já que temos um produto de duas funções grandes aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
A gente vai precisar derivar cada uma delas separadamente antes de aplicar a Regra do Produto.
Passo 3
Vamos começar derivando
:
Aqui, temos uma função composta porque
é uma potência de
. Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz para multiplicar a derivada externa pela derivada interna.
Primeiro, derivamos a parte externa:
Agora, derivamos a parte interna
:
Então, a derivada de
fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
Mais uma vez, temos uma função composta, então vamos usar a Regra da Cadeia.
Primeiro, derivamos a parte externa:
Agora, precisamos derivar a parte interna . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que nos diz que a derivada de
é:
Vamos calcular
e
:
Aplicando a Regra do Quociente:
Então, a derivada de
fica:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de
e
, vamos aplicar a Regra do Produto para derivar
. A Regra do Produto nos diz que:
Substituindo
e
:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando termos comuns. Observamos que
e são comuns em ambos os termos. Vamos fatorar:
Resposta
A derivada da função é: