Resolva as Derivadas usando as regras do Produto e Quociente:
f(x)=x^2+e^x1-2 sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente usando as regras do Quociente para derivar funções que são divisões de duas outras funções. Vamos precisar das regras básicas de derivação, como a derivada de , , e das potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador:
  • Numerador ( f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 ):
  • Denominador ( ):
Para aplicar a regra do quociente, lembramos que:

Passo 3

Vamos calcular u(x) = x^2 + e^x u'(x) = ddx(x^2) + ddx(e^x) = 2x + e^x e v(x) = 1 - 2 sen(x) v'(x) = ddx(1) - 2 cdot ddx(sen(x)) = 0 - 2 cos(x) = -2 cos(x) separadamente.
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo f'(x) = (2x + e^x)(1 - 2 sen(x)) - (x^2 + e^x)(-2 cos(x))(1 - 2 sen(x))^2 , , e na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplicamos (2x + e^x)(1) - (2x + e^x)(2 sen(x)) = 2x + e^x - 4x sen(x) - 2 e^x sen(x) por :
  1. Multiplicamos -2 cos(x) cdot x^2 - 2 cos(x) cdot e^x = -2x^2 cos(x) - 2 e^x cos(x) por 2x + e^x - 4x sen(x) - 2 e^x sen(x) + 2x^2 cos(x) + 2 e^x cos(x) :
  1. Juntando tudo:

Passo 6

Escrevemos a derivada final combinando tudo:

Resposta

A derivada de é:

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