Encontre y^prime e a y por derivação implícita a equação
x^3+y^3=16 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisa encontrar (a derivada de em relação a ) usando derivação implícita. A matéria aqui é Cálculo, especificamente derivadas pela técnica de diferenciação implícita. Vamos precisar lembrar como derivar termos com que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx (x^3 + y^3) = ddx (16x) . Lembre-se que, quando é uma função de , a derivada de em relação a é . Vamos lá:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da derivada para cada termo:
  • A derivada de 3x^2 + 3y^2y' = 16 em relação a é .
  • A derivada de em relação a requer a regra da cadeia. Primeiro, derivamos em relação a , que é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 4

Nosso objetivo é isolar 3y^2y' = 16 - 3x^2 . Vamos fazer isso passo a passo:
Primeiro, subtraia y' = 16 - 3x^23y^2 de ambos os lados:
Agora, divide ambos os lados por :

Passo 5

Prontinho! Derivamos a equação implicitamente e isolamos y' = 16 - 3x^23y^2 . Então, a derivada de em relação a é:

Resposta

A derivada de y' = 16 - 3x^23y^2 em relação a é:

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