Resolva as desigualdades.
49 x^{2} \leq 9

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
49 x^{2} \leq 9
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade. Informação importante fornecida:
  • O coeficiente 49 é positivo.
  • O lado direito 9 é não negativo.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: dividir ambos os lados da desigualdade por 49. Podemos dividir porque 49>0 — dividir por um número positivo não altera o sentido da desigualdade. Fazendo isso obtemos
x^{2} \leq \frac{9}{49}.

Passo 3

Agora interpretar x^{2} \leq \dfrac{9}{49}. Quando temos uma expressão do tipo x^{2} comparada a um número não negativo, a maneira direta é usar a raiz quadrada. Lembre que, para a\ge 0,
x^{2}\le a \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\le \sqrt{a}.
Aqui a=\dfrac{9}{49}, cuja raiz quadrada é bem simples porque 9 e 49 são quadrados perfeitos:
\sqrt{\frac{9}{49}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}}=\frac{3}{7}.
Portanto
|x|\le \frac{3}{7}.

Passo 4

Explicar o que significa |x|\le \dfrac{3}{7}. Por definição de valor absoluto,
|x|\le \frac{3}{7}\quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{3}{7}\le x\le \frac{3}{7}.
Essa é a forma de intervalo da solução.

Passo 5

Verificação rápida (só para ficar seguro):
  • Se x=\dfrac{3}{7}, então 49x^{2}=49\cdot\left(\dfrac{3}{7}\right)^{2}=49\cdot\dfrac{9}{49}=9, satisfazendo a igualdade.
  • Se x=0, então 49x^{2}=0\le 9, satisfazendo.
  • Se x=1 (fora do intervalo), 49x^{2}=49>9, não satisfaz. Essas checagens confirmam que o intervalo -\dfrac{3}{7}\le x\le \dfrac{3}{7} faz sentido.

Passo 6

(Alternativa — método do produto notável) Outra forma é escrever tudo num lado:
49x^{2}-9\le 0.
Fatorando por diferença de quadrados:
(7x-3)(7x+3)\le 0.
Para um produto de dois fatores ser não positivo, 7x-3 e 7x+3 devem ter sinais opostos ou um deles ser zero. Os zeros são x=\pm \dfrac{3}{7}. Fazendo o estudo de sinais entre esses zeros obtém-se que a desigualdade vale exatamente para
-\frac{3}{7}\le x\le \frac{3}{7},
mesmo resultado obtido antes.

Resposta

-\frac{3}{7}\le x\le \frac{3}{7}

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