Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade. Informação importante fornecida:
- O coeficiente
é positivo. - O lado direito
é não negativo.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: dividir ambos os lados da desigualdade por
. Podemos dividir porque
— dividir por um número positivo não altera o sentido da desigualdade. Fazendo isso obtemos
Passo 3
Agora interpretar
. Quando temos uma expressão do tipo
comparada a um número não negativo, a maneira direta é usar a raiz quadrada. Lembre que, para
,
Aqui
, cuja raiz quadrada é bem simples porque
e
são quadrados perfeitos:
Portanto
Passo 4
Explicar o que significa
. Por definição de valor absoluto,
Essa é a forma de intervalo da solução.
Passo 5
Verificação rápida (só para ficar seguro):
- Se
, então , satisfazendo a igualdade. - Se
, então , satisfazendo. - Se
(fora do intervalo), , não satisfaz. Essas checagens confirmam que o intervalo faz sentido.
Passo 6
(Alternativa — método do produto notável) Outra forma é escrever tudo num lado:
Fatorando por diferença de quadrados:
Para um produto de dois fatores ser não positivo,
e
devem ter sinais opostos ou um deles ser zero. Os zeros são
. Fazendo o estudo de sinais entre esses zeros obtém-se que a desigualdade vale exatamente para
mesmo resultado obtido antes.